Найдите количество действительных корней уравнения (6x + 7)² (3x + 4)(x+1) = 6.

Анализ задачи

Задача требует найти количество действительных корней заданного уравнения. Это алгебраическая задача, требующая упрощения и решения уравнения.

Решение

Дано уравнение: \[(6x + 7)^2 (3x + 4)(x+1) = 6\]

Заметим, что \[(6x+7)^2\] всегда неотрицательно. Если \[x = -7/6\] то \[(6x+7)^2 = 0\] и левая часть уравнения равна 0, что не равно 6. Значит, \[x = -7/6\] не является корнем.

Преобразуем уравнение:

Уравнение имеет вид: \[(6x + 7)^2 (3x + 4)(x+1) = 6\]

Раскроем скобки:

\[ (36x^2 + 84x + 49)(3x^2 + 7x + 4) = 6 \]

Это уравнение четвертой степени, которое сложно решить аналитически напрямую. Заметим, что (6x+7)^2 всегда положительно, кроме случая x = -7/6, но при этом значении левая часть уравнения равна 0.

Пусть f(x) = (6x + 7)^2 (3x + 4)(x+1) - 6

Определим знаки функции на различных интервалах:

• x < -4/3: (3x+4) < 0, (x+1) < 0, (6x+7)^2 > 0, f(x) > 0, при достаточно больших отрицательных x функция будет положительной.
• x = -4/3: f(-4/3) = (6*(-4/3)+7)^2 * 0 * (-4/3 + 1) - 6 = -6 < 0
• -4/3 < x < -1: (3x+4) > 0, (x+1) < 0, f(x) < 0
• x = -1: f(-1) = (6*(-1)+7)^2 * (3*(-1)+4) * 0 - 6 = -6 < 0
• x > -1: (3x+4) > 0, (x+1) > 0, f(x) возрастает.

Поскольку f(x) - непрерывная функция, можно сделать вывод, что есть корень между (-inf, -4/3) и корень между (-4/3, -1) и корень для x > -1

Итак, уравнение имеет 3 действительных корня.

Ответ: 3