Найдите х, у, z.

Решим задачи на определение подобных треугольников. 1. Так как \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), то стороны пропорциональны. Следовательно: $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$$ $$\frac{28}{21} = \frac{x}{18}$$ $$x = \frac{28 \cdot 18}{21} = \frac{4 \cdot 18}{3} = 4 \cdot 6 = 24$$ Ответ: $$x = 24$$ 2. Так как \(\triangle MNK \sim \triangle M_1N_1K_1\), то стороны пропорциональны. Следовательно: $$\frac{M_1N_1}{MN} = \frac{N_1K_1}{NK} = \frac{M_1K_1}{MK}$$ Из условия $$N_1K_1 : NK = 2 : 1$$, следовательно, $$\frac{N_1K_1}{NK} = 2$$ $$\frac{y}{4} = 2 \Rightarrow y = 8$$ $$\frac{z}{6} = 2 \Rightarrow z = 12$$ $$\frac{x}{7} = 2 \Rightarrow x = 14$$ Ответ: $$x = 14$$, $$y = 8$$, $$z = 12$$ 3. Так как \(\triangle KLM \sim \triangle K_1L_1M_1\), то стороны пропорциональны. Следовательно: $$\frac{KL}{K_1L_1} = \frac{LM}{L_1M_1} = \frac{KM}{K_1M_1}$$ $$\frac{KL}{K_1L_1} = \frac{6}{x}, \frac{LM}{L_1M_1} = \frac{7}{y}, \frac{KM}{K_1M_1} = \frac{5}{21}$$ Выразим x и y: $$\frac{6}{x} = \frac{5}{21} \Rightarrow x = \frac{6 \cdot 21}{5} = \frac{126}{5} = 25.2$$ $$\frac{7}{y} = \frac{5}{21} \Rightarrow y = \frac{7 \cdot 21}{5} = \frac{147}{5} = 29.4$$ Ответ: $$x = 25.2$$, $$y = 29.4$$ 4. Так как \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), то стороны пропорциональны. Следовательно: $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$$ Периметр \(\triangle ABC\) равен 36. Пусть $$AB = z$$, $$BC = x$$, $$AC = y$$. Тогда $$x + y + z = 36$$ $$\frac{x}{12} = \frac{y}{18} = \frac{z}{24} = k$$ $$x = 12k, y = 18k, z = 24k$$ $$12k + 18k + 24k = 36$$ $$54k = 36$$ $$k = \frac{36}{54} = \frac{2}{3}$$ $$x = 12 \cdot \frac{2}{3} = 8$$ $$y = 18 \cdot \frac{2}{3} = 12$$ $$z = 24 \cdot \frac{2}{3} = 16$$ Ответ: $$x = 8$$, $$y = 12$$, $$z = 16$$ 5. Так как \(\triangle QMR \sim \triangle Q_1M_1R_1\), то стороны пропорциональны. Следовательно: $$\frac{QM}{Q_1M_1} = \frac{MR}{M_1R_1} = \frac{QR}{Q_1R_1}$$ Периметр \(\triangle Q_1M_1R_1\) равен 110. Тогда $$x + y + z = 110$$ $$\frac{2}{x} = \frac{4}{y} = \frac{5}{z} = k$$ $$x = \frac{2}{k}, y = \frac{4}{k}, z = \frac{5}{k}$$ $$\frac{2}{k} + \frac{4}{k} + \frac{5}{k} = 110$$ $$\frac{11}{k} = 110$$ $$k = \frac{11}{110} = \frac{1}{10} = 0.1$$ $$x = \frac{2}{0.1} = 20$$ $$y = \frac{4}{0.1} = 40$$ $$z = \frac{5}{0.1} = 50$$ Ответ: $$x = 20$$, $$y = 40$$, $$z = 50$$ 6. Так как \(\triangle ABC \sim \triangle A_1B_1C_1\), то стороны пропорциональны. Следовательно: $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{BC}{B_1C_1} = \frac{AC}{A_1C_1}$$ $$AB : BC : AC = 6 : 4 : 3$$ Пусть $$AB = 6k, BC = 4k, AC = 3k$$. Тогда периметр \(\triangle ABC = 6k + 4k + 3k = 13k\) Аналогично, пусть $$A_1B_1 = 6m, B_1C_1 = 4m, A_1C_1 = 3m$$. Тогда периметр \(\triangle A_1B_1C_1 = 6m + 4m + 3m = 13m = 91\), следовательно, $$m = 7$$ Тогда $$A_1B_1 = 6 \cdot 7 = 42$$, $$B_1C_1 = x = 4 \cdot 7 = 28$$, $$A_1C_1 = z = 3 \cdot 7 = 21$$ $$\frac{AB}{A_1B_1} = \frac{6k}{42} = \frac{k}{7}$$ $$\frac{BC}{B_1C_1} = \frac{4k}{28} = \frac{k}{7}$$ $$\frac{AC}{A_1C_1} = \frac{3k}{21} = \frac{k}{7}$$ Значит, $$y = 7k$$ Найдем k из пропорции: $$\frac{4k}{28} = \frac{3k}{21}$$ $$\frac{k}{7} = \frac{3k}{21}$$ В данной задаче недостаточно данных, чтобы определить значение переменной y. Ответ: $$x = 28$$, $$z = 21$$ 7. Так как \(\triangle MKN \sim \triangle M_1K_1N_1\), то стороны пропорциональны. Следовательно: $$\frac{MK}{M_1K_1} = \frac{KN}{K_1N_1} = \frac{MN}{M_1N_1}$$ $$\frac{MK}{M_1K_1} = \frac{9}{x}, \frac{KN}{K_1N_1} = \frac{7}{y}, \frac{MN}{M_1N_1} = \frac{8}{z}$$ $$x + y = 48 \Rightarrow x = 48 - y$$ $$\frac{9}{48 - y} = \frac{7}{y} = \frac{8}{z}$$ $$9y = 7(48 - y)$$ $$9y = 336 - 7y$$ $$16y = 336$$ $$y = 21$$ $$x = 48 - 21 = 27$$ $$\frac{7}{21} = \frac{8}{z} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{8}{z} \Rightarrow z = 24$$ Ответ: $$x = 27$$, $$y = 21$$, $$z = 24$$ 8. Так как \(\triangle MKN \sim \triangle M_1K_1N_1\), то стороны пропорциональны. Следовательно: $$\frac{MK}{M_1K_1} = \frac{KN}{K_1N_1} = \frac{MN}{M_1N_1}$$ $$\frac{MK}{M_1K_1} = \frac{9}{x}, \frac{KN}{K_1N_1} = \frac{7}{y}, \frac{MN}{M_1N_1} = \frac{8}{z}$$ $$x - y = 6 \Rightarrow x = y + 6$$ $$\frac{9}{y + 6} = \frac{7}{y} = \frac{8}{z}$$ $$9y = 7(y + 6)$$ $$9y = 7y + 42$$ $$2y = 42$$ $$y = 21$$ $$x = 21 + 6 = 27$$ $$\frac{7}{21} = \frac{8}{z} \Rightarrow \frac{1}{3} = \frac{8}{z} \Rightarrow z = 24$$ Ответ: $$x = 27$$, $$y = 21$$, $$z = 24$$