Найдите х, используя данные рисунка. 13) 30° 16 см 14) 18 см 15) 31° Ответ: х = Ответ: х = Ответ: х =

13)

Рассмотрим треугольник A₁B₁C₁. Угол B₁ = 60°, следовательно, угол A₁ = 30° (так как сумма острых углов в прямоугольном треугольнике равна 90°). Катет, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы. Значит, гипотенуза A₁B₁ в два раза больше катета C₁B₁:

\[A_1B_1 = 2 \cdot C_1B_1 = 2 \cdot 8 = 16 \text{ см}\]

Теперь рассмотрим треугольник ABC. Угол A = 30°. Гипотенуза AB равна 16 см. Катет BC, лежащий против угла в 30°, равен половине гипотенузы:

\[x = BC = \frac{1}{2} \cdot AB = \frac{1}{2} \cdot 16 = 8 \text{ см}\]

Ответ: x = 8 см

14)

Треугольник ABC равнобедренный, так как AB = BC. BD - высота, следовательно, она является и медианой. Значит, AD = DC. Рассмотрим треугольник BDC, он прямоугольный.

По теореме Пифагора:

\[BC^2 = BD^2 + DC^2\] \[DC^2 = BC^2 - BD^2\] \[DC^2 = 18^2 - x^2\]

Так как AD = DC, то AC = 2x. Рассмотрим треугольник ABD, он прямоугольный. По теореме Пифагора:

\[AB^2 = BD^2 + AD^2\] \[18^2 = x^2 + (2x)^2\] \[324 = x^2 + 4x^2\] \[324 = 5x^2\] \[x^2 = \frac{324}{5} = 64.8\] \[x = \sqrt{64.8} \approx 8.05\]

Ответ: x ≈ 8.05 см

15)

Рассмотрим треугольники KDF и EDF. Они равны по гипотенузе и острому углу (KF = FE, угол KFD = углу EFD = 90° и FD - общая сторона). Следовательно, KD = DE. Тогда треугольник KDE - равнобедренный. Угол K = 31°, значит, угол E тоже равен 31°.

Сумма углов в треугольнике равна 180°. Значит, угол D в треугольнике KDE равен:

\[\angle D = 180° - 31° - 31° = 118°\]

Угол LDE смежный с углом KDE, поэтому:

\[\angle LDE = 180° - 118° = 62°\]

В прямоугольном треугольнике LDE:

\[\angle L + \angle E = 90°\] \[\angle L = 90° - 62° = 28°\]

Так как треугольник LDE - прямоугольный, то сумма острых углов равна 90°.

\[x = 28\]

Ответ: x = 28°