Найдите гипотенузу треугольника. с 256 Один из углов прямоугольного треугольника равен 60- в сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см 257 в прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом внешний угол при вершине А равен 120°. AC + AB=18см. Найдите АС и AB. 258 в середины D стороны ВС равностороннего треугольни ке АВС проведён перпендикуляр DM к прямой АС. Найдите АМ, если АВ=12 см. 259 Угов, противолежащий основанию равнобедренного тре угольника, равен 120°. Высота, проведенная к боковой сторо- не, равна 9 см. Найдите основание треугольника. 260 Высота, проведенная к основанию равнобедренного тре угольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника рав на 15,2 см. Найдите углы этого треугольника. 261 Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, про- ведённые из вершин основания, равны. 262 В треугольниках АВС и А,В,С, углы А ИА - прямые, BD В Вруго биссектрисы. Докажите, что ДАВС = ДА,В,С, если В=В₁ и BD = B₁D₁. 263 Высоты, проведённые к боковым сторонам АВ И АС остро- угольного равнобедренного треугольника АВС, пересекаются в точке М. Найдите углы треугольника, если ∠BMC = 140°. 264 Высоты АА, И ВВ, треугольника АВС пересекаются в точ- ке М. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°. 55 В равнобедренном треугольнике АВС с основанием АС про- ведены биссектриса AF и высота АН. Найдите углы треуголь- ника АНГ, если ∠B = 112°. 5 На сторонах угла О отмечены точки А и В так, что ОА-ОВ- Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сто- ОС - биссектриса угла О. ронам угла и пересекающиеся в точке С. Докажите, что лу Докажите, что два остроугольных треугольника равны, есл сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, од ного треугольника соответственно равны стороне и высота проведённым из концов этой стор Сформулируйте и

Ответ: Решения ниже

256. Один из углов прямоугольного треугольника равен 60°, а сумма гипотенузы и меньшего из катетов равна 26,4 см. Найдите гипотенузу треугольника.

Решение:

• Пусть a и b — катеты, где a < b, и c — гипотенуза.
• Дано: a + c = 26.4.
• Угол между катетом b и гипотенузой равен 60°, значит, угол между катетом a и гипотенузой равен 30°.
• Тогда a = c/2 (катет, лежащий против угла в 30°).
• Подставляем в уравнение: c/2 + c = 26.4.
• 3c/2 = 26.4
• c = 26.4 * (2/3) = 17.6

Ответ: 17.6 см

257. В прямоугольном треугольнике ABC с прямым углом A внешний угол при вершине A равен 120°. AC + AB = 18 см. Найдите AC и AB.

Решение:

• Внешний угол при вершине A равен 120°, значит, ∠BAC = 180° - 120° = 60°.
• Пусть AC = x, тогда AB = 18 - x.
• Так как tg(∠B) = AC/AB, то tg(60°) = x/(18 - x).
• √3 = x/(18 - x)
• x = 18√3 - x√3
• x(1 + √3) = 18√3
• x = (18√3) / (1 + √3) ≈ 11.27 см (AC)
• AB = 18 - x ≈ 18 - 11.27 = 6.73 см

Ответ: AC ≈ 11.27 см, AB ≈ 6.73 см

258. В середине D стороны BC равностороннего треугольника ABC проведён перпендикуляр DM к прямой AC. Найдите AM, если AB = 12 см.

Решение:

• В равностороннем треугольнике все углы равны 60°.
• Так как D — середина BC, BD = DC = AB/2 = 6 см.
• Рассмотрим треугольник MDC. ∠MCD = 60°, ∠DMC = 90°, следовательно, ∠MDC = 30°.
• Тогда MC = DC/2 = 3 см (катет против угла в 30°).
• AM = AC - MC = 12 - 3 = 9 см.

Ответ: 9 см

259. Угол, противолежащий основанию равнобедренного треугольника, равен 120°. Высота, проведённая к боковой стороне, равна 9 см. Найдите основание треугольника.

Решение:

• Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC, ∠B = 120°.
• Высота BH проведена к боковой стороне AB и равна 9 см.
• ∠ABH = 30° (так как ∠B = 120°, а высота делит его пополам).
• Тогда AB = BH / sin(∠ABH) = 9 / sin(30°) = 18 см.
• ∠A = ∠C = (180° - 120°) / 2 = 30°.
• AC = 2 * AB * cos(∠A) = 2 * 18 * cos(30°) = 36 * (√3/2) = 18√3 см.

Ответ: 18√3 см

260. Высота, проведённая к основанию равнобедренного треугольника, равна 7,6 см, а боковая сторона треугольника равна 15,2 см. Найдите углы этого треугольника.

Решение:

• Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC и высотой BD = 7.6 см. AB = BC = 15.2 см.
• sin(∠A) = BD / AB = 7.6 / 15.2 = 0.5
• ∠A = arcsin(0.5) = 30°
• ∠C = ∠A = 30°
• ∠B = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 30° - 30° = 120°

Ответ: ∠A = 30°, ∠C = 30°, ∠B = 120°

261. Докажите, что в равнобедренном треугольнике высоты, проведённые из вершин основания, равны.

Доказательство:

• Пусть ABC — равнобедренный треугольник с основанием AC.
• Проведём высоты BB1 и AA1 к боковым сторонам.
• Треугольники ABA1 и BAB1 равны по гипотенузе (AB) и углу (∠A = ∠B).
• Следовательно, AA1 = BB1.

Доказано.

262. В треугольниках ABC и A₁B₁C₁ углы A и A₁ — прямые, BD и B₁D₁ — биссектрисы. Докажите, что ΔABC = ΔA₁B₁C₁, если ∠B = ∠B₁ и BD = B₁D₁.

Доказательство:

• ∠B = ∠B₁, значит, ∠ABD = ∠A₁B₁D₁ (так как BD и B₁D₁ — биссектрисы).
• Треугольники ABD и A₁B₁D₁ равны по углу (∠A = ∠A₁), стороне (BD = B₁D₁) и углу (∠ABD = ∠A₁B₁D₁).
• Тогда AB = A₁B₁.
• Треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по катету (AB = A₁B₁) и углу (∠B = ∠B₁).

Доказано.

263. Высоты, проведённые к боковым сторонам AB и AC остроугольного равнобедренного треугольника ABC, пересекаются в точке M. Найдите углы треугольника, если ∠BMC = 140°.

Решение:

• ∠BMC = 140°, значит, ∠A = 180° - 140° = 40°.
• ∠B = ∠C = (180° - 40°) / 2 = 70°.

Ответ: ∠A = 40°, ∠B = 70°, ∠C = 70°

264. Высоты AA₁ и BB₁ треугольника ABC пересекаются в точке M. Найдите ∠AMB, если ∠A = 55°, ∠B = 67°.

Решение:

• ∠AMB = 180° - ∠A - ∠B = 180° - 55° - 67° = 58°.

Ответ: 58°

265. В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC проведены биссектриса AF и высота AH. Найдите углы треугольника AHF, если ∠B = 112°.

Решение:

• ∠B = 112°, значит, ∠A = ∠C = (180° - 112°) / 2 = 34°.
• ∠AFC = 180° - ∠A - ∠C = 180° - 34° - 56 = 90°.
• ∠AHF = 90° (так как AH — высота).
• ∠FAH = ∠A/2 = 34°/2 = 17°.
• ∠AFH = 90°- 17° = 73°

Ответ: ∠AHF = 90°, ∠FAH = 17°, ∠AFH = 73°

266. На сторонах угла O отмечены точки A и B так, что OA = OB. Через эти точки проведены прямые, перпендикулярные к сторонам угла и пересекающиеся в точке C. Докажите, что луч OC — биссектриса угла O.

Доказательство:

• Рассмотрим треугольники OAC и OBC.
• OA = OB (по условию).
• ∠OAC = ∠OBC = 90° (по условию).
• OC — общая сторона.
• Следовательно, треугольники OAC и OBC равны по гипотенузе и катету.
• Тогда ∠AOC = ∠BOC, а значит, OC — биссектриса угла O.

Доказано.

267. Докажите, что два остроугольных треугольника равны, если сторона и высоты, проведённые из концов этой стороны, одного треугольника соответственно равны стороне и высотам, проведённым из концов этой стороны, другого треугольника.

Доказательство:

• Пусть ABC и A₁B₁C₁ — остроугольные треугольники.
• AB = A₁B₁, высота CH = C₁H₁, высота AK = A₁K₁.
• Треугольники ACH и A₁C₁H₁ равны по гипотенузе (AC = A₁C₁) и углу (∠A = ∠A₁).
• Тогда CH = C₁H₁.
• Аналогично, треугольники ABK и A₁B₁K₁ равны.
• Тогда AK = A₁K₁.
• Значит, треугольники ABC и A₁B₁C₁ равны по стороне и двум прилежащим углам.

Доказано.

Ответ: Решения выше