Найдите dy/dx : xy = 20

Решение:

Чтобы найти \( \frac{dy}{dx} \), продифференцируем обе части уравнения \( xy = 20 \) по \( x \), рассматривая \( y \) как функцию от \( x \).

Применяем правило дифференцирования произведения: \( \frac{d}{dx}(uv) = u'v + uv' \).

Здесь \( u = x \) и \( v = y \). Тогда \( u' = \frac{dx}{dx} = 1 \) и \( v' = \frac{dy}{dx} \).

Дифференцируем левую часть:

\[ \frac{d}{dx}(xy) = \frac{d}{dx}(x) \cdot y + x \cdot \frac{d}{dx}(y) = 1 \cdot y + x \cdot \frac{dy}{dx} = y + x\frac{dy}{dx} \]

Дифференцируем правую часть:

\[ \frac{d}{dx}(20) = 0 \]

Приравниваем результаты:

\[ y + x\frac{dy}{dx} = 0 \]

Теперь выразим \( \frac{dy}{dx} \):

\[ x\frac{dy}{dx} = -y \]

Разделим обе части на \( x \) (при условии, что \( x \neq 0 \)):

\[ \frac{dy}{dx} = -\frac{y}{x} \]

Среди предложенных вариантов ответов, наш результат соответствует варианту D.

Ответ: D) -y/x