Найдите dy/dx: 2x² + 2xy + 2y² = 4

Решение:

Для нахождения \( \frac{dy}{dx} \) продифференцируем обе части уравнения по \( x \), считая \( y \) функцией от \( x \).

Уравнение: \( 2x^2 + 2xy + 2y^2 = 4 \)

1. Дифференцируем \( 2x^2 \) по \( x \): \( \frac{d}{dx}(2x^2) = 4x \).
2. Дифференцируем \( 2xy \) по \( x \), используя правило произведения \( (uv)' = u'v + uv' \) и правило дифференцирования сложной функции \( y' = \frac{dy}{dx} \): \( \frac{d}{dx}(2xy) = 2 \cdot 1 \cdot y + 2x \cdot \frac{dy}{dx} = 2y + 2x \frac{dy}{dx} \).
3. Дифференцируем \( 2y^2 \) по \( x \), используя правило дифференцирования сложной функции \( y' = \frac{dy}{dx} \): \( \frac{d}{dx}(2y^2) = 2 \cdot 2y \cdot \frac{dy}{dx} = 4y \frac{dy}{dx} \).
4. Дифференцируем константу 4: \( \frac{d}{dx}(4) = 0 \).
5. Собираем все части вместе: \( 4x + 2y + 2x \frac{dy}{dx} + 4y \frac{dy}{dx} = 0 \).
6. Группируем члены с \( \frac{dy}{dx} \): \( 2x \frac{dy}{dx} + 4y \frac{dy}{dx} = -4x - 2y \).
7. Выносим \( \frac{dy}{dx} \) за скобки: \( \frac{dy}{dx}(2x + 4y) = -4x - 2y \).
8. Выражаем \( \frac{dy}{dx} \): \( \frac{dy}{dx} = \frac{-4x - 2y}{2x + 4y} \).
9. Упрощаем дробь, разделив числитель и знаменатель на 2: \( \frac{dy}{dx} = \frac{-2x - y}{x + 2y} \).

Ответ: \( \frac{dy}{dx} = \frac{-2x - y}{x + 2y} \).