Найдите двузначное число, если цифра единиц этого числа на 5 больше цифры его десятков, а сумма этого числа и произведения его цифр равна 85.

Решение:

1. Обозначим переменные:
   Пусть x — цифра десятков.
   Тогда (x + 5) — цифра единиц.
2. Условие для двузначного числа:
   Двузначное число можно представить как 10x + (x + 5).
3. Условие для суммы числа и произведения цифр:
   Сумма числа и произведения его цифр равна 85:
   \[ (10x + (x + 5)) + (x * (x + 5)) = 85 \]
4. Упростим и решим уравнение:
   \[ 11x + 5 + x^2 + 5x = 85 \]
   \[ x^2 + 16x + 5 = 85 \]
   \[ x^2 + 16x - 80 = 0 \]
5. Найдем корни квадратного уравнения:
   D = 16² - 4 * 1 * (-80) = 256 + 320 = 576.
   \(\( \sqrt{D} = 24 \))
   \[ x1 = \frac{-16 + 24}{2} = \frac{8}{2} = 4 \]
   \[ x2 = \frac{-16 - 24}{2} = \frac{-40}{2} = -20 \]
6. Выберем подходящий корень:
   Цифра десятков должна быть положительной и однозначной (от 1 до 9). Поэтому x = 4.
   Цифра десятков = 4.
7. Найдем цифру единиц:
   Цифра единиц = x + 5 = 4 + 5 = 9.
8. Найдем само число:
   Число = 10 * 4 + 9 = 49.

Проверка:
Число 49.
Цифра единиц (9) на 5 больше цифры десятков (4). (9 = 4 + 5) — верно.
Сумма числа и произведения его цифр: 49 + (4 * 9) = 49 + 36 = 85. — верно.

Ответ: 49