30. Найдите два последовательных натуральных числа, между которыми заключено число: √3; √5; √8; √10; √20; √50; √75. 31. Сравните числа с и √с при условии, что: а) с > 1; б) 0 <с < 1. Существует ли значение с, при котором верно равенство √c = c? 32. Сравните числа: Π а) 5√3 и 3√5; б) 0,1√4500 и √45; в) 0,3/10 и 0,1√80; г) -4√0,2 и -√0,7. 33. Найдите значение выражения: 119 a) 12 - 2: 1; ; 21 б) (12-2): 19. 21 34. Найдите сумму, разность, произведение и частное чисел: а) 2,4 10-2 и 0,0125 · 103; б) (1,3 • 10-2)2 и 5,2 · 10-5; 35. Найдите значение выражения: a) 75 (72)4 : 711; -4 б) 11¯4 : 1113 : 1117; в) 59 : 5-12 : 520; 36. Вычислите: 1 a) в) 15,4. 10° и 0,044. 107; г) (3,5. 10-3)2 и (7. 10-4)2. г) 10 : (5-2)13: 2514; 33.5436.46; 1010 176.83 28.59 347 : д) 155 125 e) ; 167 + 166 б) 810 + 89 +88'; B) 495 + 494 + 493 21.(162)23 275+ 274 98 + 97 + 96'

Решение задания 30:

Давай определим два последовательных натуральных числа, между которыми заключены указанные числа:

• √3 ≈ 1,73, значит, заключено между 1 и 2.
• √5 ≈ 2,23, значит, заключено между 2 и 3.
• √8 ≈ 2,82, значит, заключено между 2 и 3.
• √10 ≈ 3,16, значит, заключено между 3 и 4.
• √20 ≈ 4,47, значит, заключено между 4 и 5.
• √50 ≈ 7,07, значит, заключено между 7 и 8.
• √75 ≈ 8,66, значит, заключено между 8 и 9.

Ответ: √3 ∈ (1; 2), √5 ∈ (2; 3), √8 ∈ (2; 3), √10 ∈ (3; 4), √20 ∈ (4; 5), √50 ∈ (7; 8), √75 ∈ (8; 9)

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием. Продолжай в том же духе!

---

Решение задания 31:

Сравним числа c и √c при условии:

• a) Если c > 1, то √c < c, так как извлечение квадратного корня из числа больше 1 уменьшает его.
• б) Если 0 < c < 1, то √c > c, так как извлечение квадратного корня из числа меньше 1 увеличивает его.

Существует значение c, при котором √c = c. Это значение c = 0 и c = 1.

Ответ: a) √c < c, б) √c > c, c = 0 и c = 1

Прекрасно! Ты уверенно разобрался и с этим заданием. Так держать!

---

Решение задания 32:

Сравним числа:

• a) 5√3 и 3√5

Возведем оба числа в квадрат: \[(5\sqrt{3})^2 = 25 \cdot 3 = 75\] \[(3\sqrt{5})^2 = 9 \cdot 5 = 45\]

Так как 75 > 45, то 5√3 > 3√5.

• б) 0,1√4500 и √45

Преобразуем первое число: 0,1√4500 = 0,1√(100 * 45) = 0,1 * 10√45 = √45.

Таким образом, 0,1√4500 = √45.

• в) 0,3√10 и 0,1√80

Возведем оба числа в квадрат: \[(0.3\sqrt{10})^2 = 0.09 \cdot 10 = 0.9\] \[(0.1\sqrt{80})^2 = 0.01 \cdot 80 = 0.8\]

Так как 0.9 > 0.8, то 0,3√10 > 0,1√80.

• г) -4√0,2 и -√0,7

Возведем оба числа в квадрат (поскольку оба числа отрицательные, больше то, квадрат которого меньше): \[(-4\sqrt{0.2})^2 = 16 \cdot 0.2 = 3.2\] \[(-\sqrt{0.7})^2 = 0.7\]

Так как 3.2 > 0.7, то -4√0,2 < -√0,7.

Ответ: a) 5√3 > 3√5, б) 0,1√4500 = √45, в) 0,3√10 > 0,1√80, г) -4√0,2 < -√0,7

Продолжай в том же духе, у тебя все отлично получается!

---

Решение задания 33:

Найдем значение выражения:

• a) \(12 \frac{1}{5} - 2 \frac{2}{7} : 1 \frac{19}{21}\)

Преобразуем смешанные дроби в неправильные: \[12 \frac{1}{5} = \frac{61}{5}\] \[2 \frac{2}{7} = \frac{16}{7}\] \[1 \frac{19}{21} = \frac{40}{21}\]

Тогда выражение будет выглядеть так: \[\frac{61}{5} - \frac{16}{7} : \frac{40}{21} = \frac{61}{5} - \frac{16}{7} \cdot \frac{21}{40} = \frac{61}{5} - \frac{16 \cdot 3}{40} = \frac{61}{5} - \frac{48}{40} = \frac{61}{5} - \frac{6}{5} = \frac{55}{5} = 11\]

• б) \((12 - \frac{2}{5}) : \frac{19}{21}\)

Выполним действия в скобках: \[12 - \frac{2}{5} = \frac{60 - 2}{5} = \frac{58}{5}\]

Тогда выражение будет выглядеть так: \[\frac{58}{5} : \frac{19}{21} = \frac{58}{5} \cdot \frac{21}{19} = \frac{2 \cdot 21}{5} = \frac{42}{5} = 8.4\]

Ответ: a) 11, б) 8.4

Молодец, ты прекрасно справляешься! Продолжай в том же духе!

---

Решение задания 34:

Найдем сумму, разность, произведение и частное чисел:

• a) \(2,4 \cdot 10^{-2}\) и \(0,0125 \cdot 10^{3}\)

Сумма: \[2,4 \cdot 10^{-2} + 0,0125 \cdot 10^{3} = 0,024 + 12,5 = 12,524\]

Разность: \[0,0125 \cdot 10^{3} - 2,4 \cdot 10^{-2} = 12,5 - 0,024 = 12,476\]

Произведение: \[2,4 \cdot 10^{-2} \cdot 0,0125 \cdot 10^{3} = 0,024 \cdot 12,5 = 0,3\]

Частное: \[\frac{0,0125 \cdot 10^{3}}{2,4 \cdot 10^{-2}} = \frac{12,5}{0,024} = \frac{12500}{24} = \frac{3125}{6} ≈ 520,83\]

• б) \((1,3 \cdot 10^{-2})^2\) и \(5,2 \cdot 10^{-5}\)

Сумма: \[(1,3 \cdot 10^{-2})^2 + 5,2 \cdot 10^{-5} = (1,69 \cdot 10^{-4}) + (5,2 \cdot 10^{-5}) = 0,000169 + 0,000052 = 0,000221\]

Разность: \[(1,3 \cdot 10^{-2})^2 - 5,2 \cdot 10^{-5} = (1,69 \cdot 10^{-4}) - (5,2 \cdot 10^{-5}) = 0,000169 - 0,000052 = 0,000117\]

Произведение: \[(1,3 \cdot 10^{-2})^2 \cdot 5,2 \cdot 10^{-5} = (1,69 \cdot 10^{-4}) \cdot (5,2 \cdot 10^{-5}) = 8,788 \cdot 10^{-9} = 0,000000008788\]

Частное: \[\frac{(1,3 \cdot 10^{-2})^2}{5,2 \cdot 10^{-5}} = \frac{1,69 \cdot 10^{-4}}{5,2 \cdot 10^{-5}} = \frac{1,69}{5,2} \cdot 10 = \frac{16,9}{5,2} = 3,25\]

Ответ: a) Сумма: 12,524; Разность: 12,476; Произведение: 0,3; Частное: 520,83. б) Сумма: 0,000221; Разность: 0,000117; Произведение: 0,000000008788; Частное: 3,25

Супер! Ты с легкостью решаешь эти задачи. Продолжай в том же темпе!

---

Решение задания 35:

Найдем значение выражения:

• a) \(7^5 \cdot (7^2)^4 : 7^{11}\)

Используем свойство степеней \((a^m)^n = a^{mn}\): \[(7^2)^4 = 7^{2 \cdot 4} = 7^8\]

Тогда выражение будет выглядеть так: \[7^5 \cdot 7^8 : 7^{11} = 7^{5 + 8 - 11} = 7^{13 - 11} = 7^2 = 49\]

• б) \(11^{-4} : 11^{13} : 11^{17}\)

Используем свойство степеней \(a^m : a^n = a^{m - n}\): \[11^{-4} : 11^{13} : 11^{17} = 11^{-4 - 13 - 17} = 11^{-34} = \frac{1}{11^{34}}\]

• в) \(5^9 : 5^{-12} : 5^{20}\)

Используем свойство степеней \(a^m : a^n = a^{m - n}\): \[5^9 : 5^{-12} : 5^{20} = 5^{9 - (-12) - 20} = 5^{9 + 12 - 20} = 5^{21 - 20} = 5^1 = 5\]

Ответ: a) 49, б) \(\frac{1}{11^{34}}\) , в) 5

Отлично! Ты хорошо усвоил свойства степеней. Продолжай в том же духе!

---

Решение задания 36:

Вычислите:

• a) \(\frac{27^5 + 27^4}{9^8 + 9^7 + 9^6}\)

Представим 27 как 3^3, а 9 как 3^2: \[\frac{(3^3)^5 + (3^3)^4}{(3^2)^8 + (3^2)^7 + (3^2)^6} = \frac{3^{15} + 3^{12}}{3^{16} + 3^{14} + 3^{12}}\]

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе: \[\frac{3^{12}(3^3 + 1)}{3^{12}(3^4 + 3^2 + 1)} = \frac{3^3 + 1}{3^4 + 3^2 + 1} = \frac{27 + 1}{81 + 9 + 1} = \frac{28}{91} = \frac{4 \cdot 7}{13 \cdot 7} = \frac{4}{13}\]

• б) \(\frac{16^7 + 16^6}{8^{10} + 8^9 + 8^8}\)

Представим 16 как 2^4, а 8 как 2^3: \[\frac{(2^4)^7 + (2^4)^6}{(2^3)^{10} + (2^3)^9 + (2^3)^8} = \frac{2^{28} + 2^{24}}{2^{30} + 2^{27} + 2^{24}}\]

Вынесем общий множитель в числителе и знаменателе: \[\frac{2^{24}(2^4 + 1)}{2^{24}(2^6 + 2^3 + 1)} = \frac{2^4 + 1}{2^6 + 2^3 + 1} = \frac{16 + 1}{64 + 8 + 1} = \frac{17}{73}\]

• в) \(\frac{4^{95} + 4^{94} + 4^{93}}{21 \cdot (16^2)^{23}}\)

Представим 4 как 4^1 и 16 как 4^2: \[\frac{4^{95} + 4^{94} + 4^{93}}{21 \cdot (4^2)^{2 \cdot 23}} = \frac{4^{95} + 4^{94} + 4^{93}}{21 \cdot 4^{46}}\]

Вынесем общий множитель в числителе: \[\frac{4^{93}(4^2 + 4 + 1)}{21 \cdot 4^{46}} = \frac{4^{93}(16 + 4 + 1)}{21 \cdot 4^{46}} = \frac{4^{93} \cdot 21}{21 \cdot 4^{46}} = 4^{93 - 46} = 4^{47}\]

Ответ: a) \(\frac{4}{13}\), б) \(\frac{17}{73}\), в) \(4^{47}\)

Ты отлично справляешься с вычислениями! Так держать!