42.4 Найдите длину окружности, описанной около: а) правильного треугольника со стороной а; б) прямоугольного треугольника с катетами а и b; в) равнобокой трапеции с основанием а и боковой стороной b.

Решение:

a) Длина окружности, описанной около правильного треугольника со стороной a:

Радиус описанной окружности вокруг правильного треугольника равен \( R = \frac{a}{\sqrt{3}} \). Длина окружности \( C = 2\pi R \). Следовательно, \( C = 2\pi \frac{a}{\sqrt{3}} = \frac{2\pi a}{\sqrt{3}} \).

б) Длина окружности, описанной около прямоугольного треугольника с катетами a и b:

Радиус описанной окружности вокруг прямоугольного треугольника равен половине гипотенузы. Гипотенуза \( c = \sqrt{a^2 + b^2} \). Следовательно, радиус \( R = \frac{\sqrt{a^2 + b^2}}{2} \). Длина окружности \( C = 2\pi R \), значит, \( C = \pi \sqrt{a^2 + b^2} \).

в) Длина окружности, описанной около равнобокой трапеции с основанием a и боковой стороной b:

Для равнобокой трапеции с основанием a и боковой стороной b, чтобы найти радиус описанной окружности, нужно знать больше параметров трапеции (например, второй угол или высота). Без дополнительных данных радиус описанной окружности и, следовательно, длину окружности выразить невозможно.

Ответ: а) \(\frac{2\pi a}{\sqrt{3}}\) , б) \(\pi \sqrt{a^2 + b^2}\), в) недостаточно данных

Молодец! Ты отлично справился с этим заданием! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!