Найдите число способов расставить 6 ладей в клетки доски 6 × 6 так, чтобы никакие две ладьи не били друг друга, и при этом клетки, отмеченные на рисунке, остались пустыми.

Так как на доске 6 × 6 нужно расставить 6 ладей, не бьющих друг друга, в каждой строке и каждом столбце должна находиться ровно одна ладья.

Обозначим отмеченные клетки. Они расположены так: во 2-й строке — 4 клетки, в 4-й — 3 клетки, в 6-й — 2 клетки.

Применим принцип включений и исключений. Число способов выбрать запрещённые клетки так, чтобы они находились в разных строках и столбцах:

1. Одну запрещённую клетку можно выбрать \(4+3+2=9\) способами.
2. Две запрещённые клетки: из строк 2 и 4 — \(9\) способов, из строк 2 и 6 — \(6\) способов, из строк 4 и 6 — \(4\) способа. Итого \(9+6+4=19\).
3. По одной клетке из каждой из трёх строк можно выбрать \(8\) способами.

Всего перестановок ладей без ограничений: \(6!=720\).

По принципу включений и исключений получаем:

\[6!-9\cdot5!+19\cdot4!-8\cdot3!=720-1080+456-48=48.\]

Ответ: 48 способов.