Найдите число p и корни x₁ и x₂ уравнения 6x² - px - 10 = 0, если 8/(x₁+2) + 8/(x₂+2) = -13.

Решение:

Дано квадратное уравнение \( 6x^2 - px - 10 = 0 \). Его корни \( x_1 \) и \( x_2 \).

По теореме Виета для данного уравнения:

• Сумма корней: \( x_1 + x_2 = \frac{p}{6} \)
• Произведение корней: \( x_1 \cdot x_2 = \frac{-10}{6} = -\frac{5}{3} \)

Дано условие:

\( \frac{8}{x_1+2} + \frac{8}{x_2+2} = -13 \)

Приведём к общему знаменателю:

\( \frac{8(x_2+2) + 8(x_1+2)}{(x_1+2)(x_2+2)} = -13 \)

Раскроем скобки в числителе и знаменателе:

\( \frac{8x_2 + 16 + 8x_1 + 16}{x_1x_2 + 2x_1 + 2x_2 + 4} = -13 \)

\( \frac{8(x_1+x_2) + 32}{x_1x_2 + 2(x_1+x_2) + 4} = -13 \)

Подставим значения \( x_1+x_2 = \frac{p}{6} \) и \( x_1x_2 = -\frac{5}{3} \):

\( \frac{8(\frac{p}{6}) + 32}{-\frac{5}{3} + 2(\frac{p}{6}) + 4} = -13 \)

Упростим выражение:

\( \frac{\frac{4p}{3} + 32}{-\frac{5}{3} + \frac{p}{3} + 4} = -13 \)

\( \frac{\frac{4p + 96}{3}}{\frac{-5 + p + 12}{3}} = -13 \)

\( \frac{4p + 96}{p + 7} = -13 \)

Умножим обе части на \( p+7 \) (при условии \( p \neq -7 \)):

\( 4p + 96 = -13(p+7) \)

\( 4p + 96 = -13p - 91 \)

Перенесём члены с \( p \) в левую часть, а числовые значения — в правую:

\( 4p + 13p = -91 - 96 \)

\( 17p = -187 \)

\( p = \frac{-187}{17} \)

\( p = -11 \)

Теперь найдём корни уравнения, подставив \( p = -11 \) в исходное уравнение \( 6x^2 - px - 10 = 0 \):

\( 6x^2 - (-11)x - 10 = 0 \)

\( 6x^2 + 11x - 10 = 0 \)

Найдём дискриминант:

\[ D = b^2 - 4ac = 11^2 - 4 \cdot 6 \cdot (-10) = 121 + 240 = 361 \]

\( \sqrt{D} = \sqrt{361} = 19 \)

Найдём корни \( x_1 \) и \( x_2 \):

\[ x_1 = \frac{-b + \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 + 19}{2 \cdot 6} = \frac{8}{12} = \frac{2}{3} \]

\[ x_2 = \frac{-b - \sqrt{D}}{2a} = \frac{-11 - 19}{2 \cdot 6} = \frac{-30}{12} = -\frac{5}{2} \]

Проверим условие:

\( x_1+2 = \frac{2}{3} + 2 = \frac{2+6}{3} = \frac{8}{3} \)

\( x_2+2 = -\frac{5}{2} + 2 = \frac{-5+4}{2} = -\frac{1}{2} \)

\( \frac{8}{x_1+2} + \frac{8}{x_2+2} = \frac{8}{\frac{8}{3}} + \frac{8}{-\frac{1}{2}} = 8 \cdot \frac{3}{8} + 8 \cdot (-2) = 3 - 16 = -13 \)

Условие выполнено.

Ответ: p = -11, x₁ = 2/3, x₂ = -5/2.