Найдите частное q для геометрической прогрессии, у которой сумма первого и третьего членов равна 40, а сумма второго и четвертого равна 80.

Пусть ( b_1 ) – первый член геометрической прогрессии, а ( q ) – её частное. Тогда члены прогрессии можно записать как:

• ( b_1 )
• ( b_2 = b_1 cdot q )
• ( b_3 = b_1 cdot q^2 )
• ( b_4 = b_1 cdot q^3 )

По условию задачи, сумма первого и третьего членов равна 40, а сумма второго и четвертого членов равна 80. Это можно записать в виде системы уравнений:

$$ \begin{cases} b_1 + b_1q^2 = 40 \\ b_1q + b_1q^3 = 80 \end{cases} $$

Вынесем общие множители в каждом уравнении:

$$ \begin{cases} b_1(1 + q^2) = 40 \\ b_1q(1 + q^2) = 80 \end{cases} $$

Теперь разделим второе уравнение на первое, чтобы исключить ( b_1 ):

$$ \frac{b_1q(1 + q^2)}{b_1(1 + q^2)} = \frac{80}{40} $$

Сокращаем общие множители:

$$ q = 2 $$

Ответ: 2