37. Найдите боковую сторону АВ трапеции ABCD, если углы АВС и BCD равны соответственно 30° и 135°, a CD=17.

Для решения данной задачи необходимо воспользоваться свойствами трапеции и знанием углов.

В трапеции ABCD, где BC || AD, углы ABC и BCD заданы. Проведем высоту из вершины C к стороне AD, обозначим ее CE.

Угол BCD = 135°, тогда угол BCE = 135° - 90° = 45°.

Угол ABC = 30°. Проведем высоту BF из вершины B к стороне AD.

Рассмотрим треугольник CED. Он прямоугольный, с углом CED = 90° и углом DCE = 45°, следовательно, угол EDC = 45°. Значит, треугольник CED равнобедренный, CE = ED.

Рассмотрим треугольник BFA. Он прямоугольный, с углом BAF = 90° - 30° = 60°.

Обозначим CE = ED = x.

В прямоугольном треугольнике CED:

$$CE = CD \cdot sin(EDC) = 17 \cdot sin(45°) = 17 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$ $$ED = CD \cdot cos(EDC) = 17 \cdot cos(45°) = 17 \cdot \frac{\sqrt{2}}{2}$$

Тогда CE = ED = $$\frac{17\sqrt{2}}{2}$$

Проведем прямую CK параллельно AB. Тогда угол BCK = 30° (соответственный углу ABC).

Получается параллелограмм ABCK, следовательно, AK = BC и CK = AB.

KD = AD - AK = AD - BC.

Рассмотрим треугольник CKD, где угол C = 135° - угол BCK = 135° - 30° = 105°.

Из этого решения не получается напрямую найти AB. Требуется дополнительная информация или другой подход.

Для угла 30° напротив стороны AB и CD=17, проведем высоту CH на AD и высоту BK на AD. DH=CD*cos(45)=$$17\frac{\sqrt{2}}{2}$$, CH=$$17\frac{\sqrt{2}}{2}$$

Для угла 30° AB=2*BK

BK=CH=$$17\frac{\sqrt{2}}{2}$$

AB=$$2*17\frac{\sqrt{2}}{2}=17\sqrt{2}$$

Ответ: $$17\sqrt{2}$$