572 Найдите: а) h, а и b, если b = 25, а=16; б) һ, а и ь, если b = 36, а= 64; в) а, с и а, если в = 12, b=6; г) ь, сив, если а a = 8, а= 4; д) һ, b, а, и вс, если a = 6, c = 9.

a) Дано: $$b_c = 25$$, $$a_c = 16$$. Найти: h, a, b

Решение:

Сделаем чертёж прямоугольного треугольника ABC, где угол C - прямой. С - вершина прямого угла.

      A
      /\
     /  \
    /    \
a /      \ h
  /        \
 /          \
C-----------B
       b

1. Выразим катет a:

   $$a = \sqrt{a_c^2 + h^2}$$, где $$a_c$$ - проекция катета a на гипотенузу c.

2. Выразим катет b:

   $$b = \sqrt{b_c^2 + h^2}$$, где $$b_c$$ - проекция катета b на гипотенузу c.

3. Запишем теорему Пифагора:

   $$a^2 + b^2 = c^2$$

4. Выразим высоту h:

   $$h = \frac{a \cdot b}{c}$$

5. Также известно, что $$h^2 = a_c \cdot b_c$$

6. Подставим известные значения:

   $$h = \sqrt{25 \cdot 16} = \sqrt{400} = 20$$

7. Теперь найдем катеты a и b:

   $$a = \sqrt{16^2 + 20^2} = \sqrt{256 + 400} = \sqrt{656} = 4 \sqrt{41}$$

   $$b = \sqrt{25^2 + 20^2} = \sqrt{625 + 400} = \sqrt{1025} = 5 \sqrt{41}$$

Ответ: $$h = 20$$, $$a = 4\sqrt{41}$$, $$b = 5\sqrt{41}$$

---

б) Дано: $$b_c = 36$$, $$a_c = 64$$. Найти: h, a, b

Решение:

1. $$h = \sqrt{a_c \cdot b_c} = \sqrt{36 \cdot 64} = \sqrt{2304} = 48$$

2. $$a = \sqrt{a_c^2 + h^2} = \sqrt{64^2 + 48^2} = \sqrt{4096 + 2304} = \sqrt{6400} = 80$$

3. $$b = \sqrt{b_c^2 + h^2} = \sqrt{36^2 + 48^2} = \sqrt{1296 + 2304} = \sqrt{3600} = 60$$

Ответ: $$h = 48$$, $$a = 80$$, $$b = 60$$

---

в) Дано: $$b = 12$$, $$b_c = 6$$. Найти: a, c, $$a_c$$

Решение:

1. По теореме Пифагора:

   $$a = \sqrt{c^2 - b^2}$$.

2. Выразим гипотенузу c:

   $$c = \frac{b^2}{b_c} = \frac{12^2}{6} = \frac{144}{6} = 24$$

3. $$a = \sqrt{24^2 - 12^2} = \sqrt{576 - 144} = \sqrt{432} = 12\sqrt{3}$$

4. $$a_c = c - b_c = 24 - 6 = 18$$

Ответ: $$a = 12\sqrt{3}$$, $$c = 24$$, $$a_c = 18$$

---

г) Дано: $$a = 8$$, $$a_c = 4$$. Найти: b, c, $$b_c$$

Решение:

1. $$c = \frac{a^2}{a_c} = \frac{8^2}{4} = \frac{64}{4} = 16$$

2. $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{16^2 - 8^2} = \sqrt{256 - 64} = \sqrt{192} = 8\sqrt{3}$$

3. $$b_c = c - a_c = 16 - 4 = 12$$

Ответ: $$b = 8\sqrt{3}$$, $$c = 16$$, $$b_c = 12$$

---

д) Дано: $$a = 6$$, $$c = 9$$. Найти: h, b, $$a_c$$, $$b_c$$

Решение:

1. $$b = \sqrt{c^2 - a^2} = \sqrt{9^2 - 6^2} = \sqrt{81 - 36} = \sqrt{45} = 3\sqrt{5}$$

2. $$h = \frac{a \cdot b}{c} = \frac{6 \cdot 3\sqrt{5}}{9} = \frac{18\sqrt{5}}{9} = 2\sqrt{5}$$

3. $$a_c = \frac{a^2}{c} = \frac{6^2}{9} = \frac{36}{9} = 4$$

4. $$b_c = c - a_c = 9 - 4 = 5$$

Ответ: $$h = 2\sqrt{5}$$, $$b = 3\sqrt{5}$$, $$a_c = 4$$, $$b_c = 5$$