Найдите |a × b|: a = (0,7,-4), b = (3,6, -3)

Решение:

Для нахождения вектораноего произведения \( \vec{a} \times \vec{b} \) используем формулу:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ a_x & a_y & a_z \\ b_x & b_y & b_z \end{vmatrix} \]

Подставляем координаты векторов \( \vec{a} = (0, 7, -4) \) и \( \vec{b} = (3, 6, -3) \):

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \begin{vmatrix} \mathbf{i} & \mathbf{j} & \mathbf{k} \\ 0 & 7 & -4 \\ 3 & 6 & -3 \end{vmatrix} \]

Вычисляем определитель:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = \mathbf{i} \begin{vmatrix} 7 & -4 \\ 6 & -3 \end{vmatrix} - \mathbf{j} \begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} + \mathbf{k} \begin{vmatrix} 0 & 7 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} \]

Далее вычисляем определители вторых порядков:

\[ \begin{vmatrix} 7 & -4 \\ 6 & -3 \end{vmatrix} = (7)(-3) - (-4)(6) = -21 - (-24) = -21 + 24 = 3 \]
\[ \begin{vmatrix} 0 & -4 \\ 3 & -3 \end{vmatrix} = (0)(-3) - (-4)(3) = 0 - (-12) = 12 \]
\[ \begin{vmatrix} 0 & 7 \\ 3 & 6 \end{vmatrix} = (0)(6) - (7)(3) = 0 - 21 = -21 \]

Следовательно, векторное произведение равно:

\[ \vec{a} \times \vec{b} = 3\mathbf{i} - 12\mathbf{j} - 21\mathbf{k} \]

Теперь найдем модуль этого вектора:

\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{3^2 + (-12)^2 + (-21)^2} \]
\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{9 + 144 + 441} \]
\[ |\vec{a} \times \vec{b}| = \sqrt{594} \]

Сократим корень, если возможно:

\[ 594 = 2 \times 297 = 2 \times 3 \times 99 = 2 \times 3 \times 9 \times 11 = 2 \times 3^3 \times 11 \]

Поэтому, \( \sqrt{594} = \sqrt{9 \times 66} = 3\sqrt{66} \).

Ответ: 3\(\sqrt{66}\).