Найдите Ѕ\(\triangle ABC\).

1

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания AB на высоту CD, проведенную к этому основанию.

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 22 \cdot 15 = 11 \cdot 15 = 165\]

Ответ: 165

2

Площадь прямоугольного треугольника ABC равна половине произведения его катетов AC и BC.

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot 9 \cdot 4 = 18\]

Ответ: 18

3

Площадь треугольника ABC можно найти, используя формулу: \(S = \frac{1}{2}ab\sin(\gamma)\), где a и b — стороны треугольника, \(\gamma\) — угол между ними.

\[S = \frac{1}{2} \cdot BC \cdot AC \cdot \sin(\angle B) = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10\sqrt{3} \cdot \sin(60^\circ) = \frac{1}{2} \cdot 20 \cdot 10\sqrt{3} \cdot \frac{\sqrt{3}}{2} = 10 \cdot 10 \cdot 3 = 300\]

Ответ: 300

4

В прямоугольном равнобедренном треугольнике ABC катеты AC и BC равны. Пусть AC = BC = x. Тогда, по теореме Пифагора:

\[AB^2 = AC^2 + BC^2\]

\[26^2 = x^2 + x^2\]

\[676 = 2x^2\]

\[x^2 = 338\]

\[x = \sqrt{338}\]

Площадь треугольника ABC равна половине квадрата катета:

\[S = \frac{1}{2} \cdot AC \cdot BC = \frac{1}{2} \cdot x^2 = \frac{1}{2} \cdot 338 = 169\]

Ответ: 169

5

В равнобедренном треугольнике ABC стороны AB и BC равны. Так как угол B равен 60 градусам, то и остальные углы равны 60 градусам. Следовательно, треугольник ABC - равносторонний. Значит, AB = BC = AC = 8.

Площадь равностороннего треугольника можно найти по формуле \(S = \frac{a^2\sqrt{3}}{4}\), где a - сторона треугольника.

\[S = \frac{8^2\sqrt{3}}{4} = \frac{64\sqrt{3}}{4} = 16\sqrt{3}\]

Ответ: \(16\sqrt{3}\)

6

Площадь треугольника ABC равна половине произведения двух сторон на синус угла между ними.

Угол AMB смежный с углом AMC, поэтому \(\angle AMC = 180^\circ - 135^\circ = 45^\circ\).

Рассмотрим треугольник AMC. Проведем высоту из точки C к стороне AM. Обозначим высоту как h. Тогда:

\[\sin(\angle AMC) = \frac{h}{AC}\]

\[\sin(45^\circ) = \frac{h}{AC}\]

\[\frac{\sqrt{2}}{2} = \frac{h}{AC}\]

\[AC = \frac{2h}{\sqrt{2}} = h\sqrt{2}\]

Площадь треугольника ABC равна сумме площадей треугольников AMC и CMB.

\[S_{AMC} = \frac{1}{2} \cdot AM \cdot h = \frac{1}{2} \cdot 6 \cdot h = 3h\]

\[S_{CMB} = \frac{1}{2} \cdot MB \cdot h\]

\[S_{ABC} = S_{AMC} + S_{CMB} = 3h + \frac{1}{2} \cdot MB \cdot h = h(3 + \frac{1}{2}MB)\]

Для точного ответа не хватает данных о длине стороны MB или площади треугольника ABC.

7

Рассмотрим прямоугольный треугольник ADC, где CD - высота, AD = 10 и AC = 16. Тогда по теореме Пифагора:

\[AC^2 = AD^2 + CD^2\]

\[16^2 = 10^2 + CD^2\]

\[256 = 100 + CD^2\]

\[CD^2 = 156\]

\[CD = \sqrt{156} = 2\sqrt{39}\]

Теперь рассмотрим прямоугольный треугольник CDB, где CD = \(2\sqrt{39}\) и CB = 10.

Тогда \(BD = 16-10 = 6\)

\[AB = AD+BD = 10 +6 = 16\]

Площадь треугольника ABC равна половине произведения основания AB на высоту CD.

\[S = \frac{1}{2} \cdot AB \cdot CD = \frac{1}{2} \cdot 16 \cdot \sqrt{156} = 8\sqrt{156} = 16\sqrt{39}\]

Ответ: \(16\sqrt{39}\)

8

Для нахождения площади треугольника, зная три его стороны, можно использовать формулу Герона: \(S = \sqrt{p(p-a)(p-b)(p-c)}\), где \(p\) - полупериметр треугольника, а \(a, b, c\) - стороны треугольника.

\[p = \frac{13+14+15}{2} = \frac{42}{2} = 21\]

\[S = \sqrt{21(21-13)(21-14)(21-15)} = \sqrt{21 \cdot 8 \cdot 7 \cdot 6} = \sqrt{3 \cdot 7 \cdot 2^3 \cdot 7 \cdot 2 \cdot 3} = \sqrt{2^4 \cdot 3^2 \cdot 7^2} = 2^2 \cdot 3 \cdot 7 = 4 \cdot 21 = 84\]

Ответ: 84