Найди значение выражения \(\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} + \sqrt{5}\).

Краткое пояснение:

Чтобы упростить выражение, нужно преобразовать подкоренное выражение в форму полного квадрата. Это позволит избавиться от внешнего квадратного корня.

Пошаговое решение:

1. Шаг 1: Преобразуем подкоренное выражение \(14 - 6\sqrt{5}\). Цель — представить его в виде \((a - b)^2 = a^2 - 2ab + b^2\).
   Для этого разложим \(6\sqrt{5}\) как \(2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5}\).
   Теперь нужно найти такие числа \(a\) и \(b\), чтобы \(a^2 + b^2 = 14\) и \(a \cdot b = 3\sqrt{5}\).
   Рассмотрим числа 9 и 5. Их сумма равна \(9 + 5 = 14\), что совпадает с числом в выражении.
   Тогда \(a = \sqrt{9} = 3\) и \(b = \sqrt{5}\).
   Проверим: \(a^2 + b^2 = 3^2 + (\sqrt{5})^2 = 9 + 5 = 14\).
   \(2ab = 2 \cdot 3 \cdot \sqrt{5} = 6\sqrt{5}\).
   Следовательно, \(14 - 6\sqrt{5} = (3 - \sqrt{5})^2\).
2. Шаг 2: Подставим полученное выражение обратно в исходное.
   \(\sqrt{14 - 6\sqrt{5}} + \sqrt{5} = \sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} + \sqrt{5}\).
3. Шаг 3: Избавимся от внешнего квадратного корня. По определению квадратного корня, \(\sqrt{x^2} = |x|\).
   \(\sqrt{(3 - \sqrt{5})^2} = |3 - \sqrt{5}|\).
   Так как \(3 = \sqrt{9}\) и \(\sqrt{9} > \sqrt{5}\), то \(3 - \sqrt{5}\) — положительное число.
   Следовательно, \(|3 - \sqrt{5}| = 3 - \sqrt{5}\).
4. Шаг 4: Вычислим окончательное значение выражения.
   \(3 - \sqrt{5} + \sqrt{5} = 3\).

Ответ: 3