Найди значение выражения \(\frac{b^{-5}(b^2)^7}{b^{20} \cdot (b^{-2})^3}\) при \(b = 3^{-1}\).

Решение:

Упростим выражение, используя свойства степеней:

1. Применим свойство \( (a^m)^n = a^{m \cdot n} \) к числителю и знаменателю:



\[ \frac{b^{-5}(b^2)^7}{b^{20} \cdot (b^{-2})^3} = \frac{b^{-5 \cdot 7}}{b^{20} \cdot b^{-2 \cdot 3}} = \frac{b^{-35}}{b^{20} \cdot b^{-6}} \]



2. Применим свойство \( a^m \cdot a^n = a^{m+n} \) в знаменателе:



\[ \frac{b^{-35}}{b^{20} \cdot b^{-6}} = \frac{b^{-35}}{b^{20 + (-6)}} = \frac{b^{-35}}{b^{14}} \]



3. Применим свойство \( \frac{a^m}{a^n} = a^{m-n} \):



\[ \frac{b^{-35}}{b^{14}} = b^{-35 - 14} = b^{-49} \]



4. Подставим значение \( b = 3^{-1} \) в упрощённое выражение:



\[ (3^{-1})^{-49} = 3^{(-1) \cdot (-49)} = 3^{49} \]

Ответ: \(3^{49}\)