Найди значение выражения \(\frac{b^{-5}(b^2)^7}{b^{20} · (b^{-2})^3}\) при \(b = 3^{-1}\).

Решение:

Сначала упростим данное выражение:

• В числителе: \( b^{-5}(b^2)^7 = b^{-5} · b^{2 · 7} = b^{-5} · b^{14} = b^{-5+14} = b^9 \)
• В знаменателе: \( b^{20} · (b^{-2})^3 = b^{20} · b^{-2 · 3} = b^{20} · b^{-6} = b^{20-6} = b^{14} \)
• Теперь подставим упрощенные числитель и знаменатель в дробь: \( \frac{b^9}{b^{14}} = b^{9-14} = b^{-5} \)

Теперь подставим значение \( b = 3^{-1} \) в упрощенное выражение:

• \( b^{-5} = (3^{-1})^{-5} = 3^{-1 · (-5)} = 3^5 \)
• Вычислим \( 3^5 \): \( 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 9 · 9 · 3 = 81 · 3 = 243 \)

Ответ: 243