8. Найди значение выражения \(\frac{9x - 25y}{3\sqrt{x} + 5\sqrt{y}} + 2\sqrt{y}\), если \(\sqrt{x} - \sqrt{y} = 6\).

Решим данное выражение.

Преобразуем выражение \(\frac{9x - 25y}{3\sqrt{x} + 5\sqrt{y}}\). Заметим, что числитель можно представить как разность квадратов: \(9x - 25y = (3\sqrt{x})^2 - (5\sqrt{y})^2\). Тогда:

\(\frac{9x - 25y}{3\sqrt{x} + 5\sqrt{y}} = \frac{(3\sqrt{x} - 5\sqrt{y})(3\sqrt{x} + 5\sqrt{y})}{3\sqrt{x} + 5\sqrt{y}} = 3\sqrt{x} - 5\sqrt{y}\)

Теперь подставим полученное выражение в исходное:

\(3\sqrt{x} - 5\sqrt{y} + 2\sqrt{y} = 3\sqrt{x} - 3\sqrt{y} = 3(\sqrt{x} - \sqrt{y})\)

По условию \(\sqrt{x} - \sqrt{y} = 6\), следовательно:

\(3(\sqrt{x} - \sqrt{y}) = 3 \cdot 6 = 18\)

Ответ: 18