Найди меньший из косинусов углов треугольника, стороны которого равны 4 см, 5 см и 4 см.

Решение:

В треугольнике напротив большей стороны лежит больший угол, а напротив меньшей стороны — меньший угол. Так как две стороны равны по 4 см, а одна — 5 см, то больший угол будет лежать напротив стороны длиной 5 см. Соответственно, меньшие углы будут лежать напротив сторон длиной 4 см.

Чтобы найти косинус угла, воспользуемся теоремой косинусов. Пусть стороны треугольника равны \( a = 4 \text{ см} \), \( b = 5 \text{ см} \), \( c = 4 \text{ см} \). Углы, лежащие напротив этих сторон, обозначим как \( \alpha \), \( \beta \) и \( \gamma \) соответственно.

Нас интересует меньший из косинусов, а значит, нам нужно найти косинус угла, лежащего напротив меньшей стороны. В данном случае, это углы \( \alpha \) и \( \gamma \), так как они равны и лежат напротив сторон длиной 4 см. Угол \( \beta \) лежит напротив большей стороны (5 см), поэтому он будет наибольшим, а его косинус — наименьшим, если угол тупой. Однако, так как стороны 4, 5, 4 образуют равнобедренный треугольник, то углы при основании будут острыми.

Найдём косинус угла \( \alpha \) (напротив стороны \( a=4 \)):

\[ a^2 = b^2 + c^2 - 2bc \cos \alpha \]\[ \cos \alpha = \frac{b^2 + c^2 - a^2}{2bc} = \frac{5^2 + 4^2 - 4^2}{2 \cdot 5 \cdot 4} = \frac{25 + 16 - 16}{40} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8} \]

Найдём косинус угла \( \gamma \) (напротив стороны \( c=4 \)):

\[ c^2 = a^2 + b^2 - 2ab \cos \gamma \]\[ \cos \gamma = \frac{a^2 + b^2 - c^2}{2ab} = \frac{4^2 + 5^2 - 4^2}{2 \cdot 4 \cdot 5} = \frac{16 + 25 - 16}{40} = \frac{25}{40} = \frac{5}{8} \]

Найдём косинус угла \( \beta \) (напротив стороны \( b=5 \)):

\[ b^2 = a^2 + c^2 - 2ac \cos \beta \]\[ \cos \beta = \frac{a^2 + c^2 - b^2}{2ac} = \frac{4^2 + 4^2 - 5^2}{2 \cdot 4 \cdot 4} = \frac{16 + 16 - 25}{32} = \frac{32 - 25}{32} = \frac{7}{32} \]

Сравним значения косинусов: \( \frac{5}{8} = \frac{20}{32} \) и \( \frac{7}{32} \).

Так как \( \frac{7}{32} < \frac{20}{32} \), то наименьший косинус равен \( \frac{7}{32} \).

Ответ: \( \frac{7}{32} \).