Найди корни уравнения: log_{0,1z} z + log_{0,125z} z = 0.

ОДЗ: \(z>0\), \(0{,}1z\ne1\), \(0{,}125z\ne1\).

Используем формулу перехода к натуральным логарифмам:

\[\frac{\ln z}{\ln(0{,}1z)}+\frac{\ln z}{\ln(0{,}125z)}=0.\]

1. Если \(\ln z=0\), то \(z=1\).
2. Если \(\ln z\ne0\), то сумма дробей равна нулю, значит
   \[\ln(0{,}125z)+\ln(0{,}1z)=0.\]
   Объединим логарифмы:
   \[\ln(0{,}0125z^2)=0.\]
   Следовательно,
   \[0{,}0125z^2=1,\qquad z^2=80.\]
   С учётом условия \(z>0\):
   \[z=\sqrt{80}=4\sqrt5.\]

Оба найденных значения допустимы.

Ответ: \(z_1=1;\ z_2=4\sqrt5\).