Найди корни уравнения: (4^x - 17 * 2^x + 16) * sqrt(x - 2) = 0.

Решение:

Уравнение состоит из двух множителей. Произведение равно нулю, если хотя бы один из множителей равен нулю.

1. Первый множитель: \( 4^x - 17 \cdot 2^x + 16 = 0 \).
• Сделаем замену: \( y = 2^x \). Тогда \( 4^x = (2^x)^2 = y^2 \).
• Уравнение примет вид: \( y^2 - 17y + 16 = 0 \).
• Решим квадратное уравнение относительно \( y \): \( D = (-17)^2 - 4 \cdot 1 \cdot 16 = 289 - 64 = 225 \), \( \sqrt{D} = 15 \).
• \( y_1 = \frac{17 + 15}{2} = \frac{32}{2} = 16 \)
• \( y_2 = \frac{17 - 15}{2} = \frac{2}{2} = 1 \)
• Теперь вернёмся к замене:
• Если \( y_1 = 16 \), то \( 2^x = 16 \). Так как \( 16 = 2^4 \), то \( x = 4 \).
• Если \( y_2 = 1 \), то \( 2^x = 1 \). Так как \( 1 = 2^0 \), то \( x = 0 \).
2. Второй множитель: \( \sqrt{x - 2} = 0 \).
• Возведём обе части в квадрат: \( x - 2 = 0 \).
• Отсюда \( x = 2 \).
3. Проверка условий:
• Для \( x = 4 \): \( \sqrt{4 - 2} = \sqrt{2} \). Выражение \( \sqrt{x - 2} \) определено.
• Для \( x = 0 \): \( \sqrt{0 - 2} = \sqrt{-2} \). Выражение \( \sqrt{x - 2} \) не определено (не является действительным числом). Поэтому \( x = 0 \) — посторонний корень.
• Для \( x = 2 \): \( \sqrt{2 - 2} = \sqrt{0} = 0 \). Выражение \( \sqrt{x - 2} \) определено.
4. Корни уравнения: \( x = 4 \) и \( x = 2 \).
5. Запишем корни в порядке возрастания: \( 2 \) и \( 4 \).

Ответ: 2; 4.