Найди градусную меру ∠MON, если известно, что NP — диаметр, а ∠MNP = 20°.

Решение:

Вписанный угол \( \angle MNP \) опирается на дугу \( MP \). Центральный угол \( \angle MOP \) также опирается на дугу \( MP \).

Градусная мера центрального угла равна градусной мере дуги, на которую он опирается. Градусная мера вписанного угла равна половине градусной меры дуги, на которую он опирается.

Следовательно, \( \angle MOP = 2 \cdot \angle MNP \).

Подставляем известное значение \( \angle MNP = 20^{\circ} \):

\[ \angle MOP = 2 \cdot 20^{\circ} = 40^{\circ} \]

Рассмотрим треугольник \( \triangle MON \). \( ON \) и \( OM \) — радиусы окружности, поэтому \( \triangle MON \) — равнобедренный.

Рассмотрим треугольник \( \triangle MOP \). \( OP \) и \( OM \) — радиусы окружности, поэтому \( \triangle MOP \) — равнобедренный.

Так как \( NP \) — диаметр, то \( \angle NMP \) — вписанный угол, опирающийся на полуокружность, следовательно, \( \angle NMP = 90^{\circ} \).

В прямоугольном треугольнике \( \triangle NMP \) сумма углов равна \( 180^{\circ} \).

\( \angle MNP = 20^{\circ} \), \( \angle NMP = 90^{\circ} \).

\( \angle NMP = \angle NMO + \angle OMP = 90^{\circ} \).

В равнобедренном треугольнике \( \triangle MOP \) (так как \( OM = OP = R \)), \( \angle OMP = \angle OPM \).

Угол \( \angle MOP = 40^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle MOP \) равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle MOP + \angle OMP + \angle OPM = 180^{\circ} \]

\[ 40^{\circ} + 2 \cdot \angle OMP = 180^{\circ} \]

\[ 2 \cdot \angle OMP = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \]

\[ \angle OMP = \frac{140^{\circ}}{2} = 70^{\circ} \]

Теперь найдем \( \angle NMO \) из \( \angle NMP = \angle NMO + \angle OMP = 90^{\circ} \):

\[ \angle NMO = 90^{\circ} - \angle OMP = 90^{\circ} - 70^{\circ} = 20^{\circ} \]

В равнобедренном треугольнике \( \triangle MON \) (так как \( OM = ON = R \)), \( \angle OMN = \angle ONM \).

Мы нашли \( \angle NMO = 20^{\circ} \).

Сумма углов в \( \triangle MON \) равна \( 180^{\circ} \):

\[ \angle MON + \angle OMN + \angle ONM = 180^{\circ} \]

\[ \angle MON + 20^{\circ} + 20^{\circ} = 180^{\circ} \]

\[ \angle MON = 180^{\circ} - 40^{\circ} = 140^{\circ} \]

Ответ: 140°.