Нахождение наибольшего и наименьшего значения функции 11 из 15 Найдите наибольшее значение функции $$y = \frac{x^2 + 25}{x}$$ на отрезке [-10;-1]. -10 -26 -12.5 0

Решение:

Для нахождения наибольшего значения функции $$y = \frac{x^2 + 25}{x}$$ на отрезке $$[-10; -1]$$ сначала найдём производную функции:

$$y' = \frac{(x^2+25)'x - (x^2+25)x'}{x^2} = \frac{2x \cdot x - (x^2+25) \cdot 1}{x^2} = \frac{2x^2 - x^2 - 25}{x^2} = \frac{x^2 - 25}{x^2}$$

Приравняем производную к нулю, чтобы найти критические точки:

$$\frac{x^2 - 25}{x^2} = 0 \implies x^2 - 25 = 0 \implies x^2 = 25 \implies x = \pm 5$$.

Так как отрезок $$[-10; -1]$$, то критическая точка $$x = 5$$ не входит в рассматриваемый интервал. Критическая точка $$x = -5$$ входит в интервал.

Теперь вычислим значения функции на концах отрезка и в критической точке:

• При $$x = -10$$: $$y = \frac{(-10)^2 + 25}{-10} = \frac{100 + 25}{-10} = \frac{125}{-10} = -12.5$$
• При $$x = -5$$: $$y = \frac{(-5)^2 + 25}{-5} = \frac{25 + 25}{-5} = \frac{50}{-5} = -10$$
• При $$x = -1$$: $$y = \frac{(-1)^2 + 25}{-1} = \frac{1 + 25}{-1} = \frac{26}{-1} = -26$$

Сравнивая полученные значения ($$-12.5$$, $$-10$$, $$-26$$), видим, что наибольшее значение функции равно $$-10$$.

Ответ: -10