Начертите в тетради квадрат и проведите одну его диагональ. Что больше: диагональ квадрата или его сторона? Какие углы образует диагональ со сторонами квадрата? Проведите вторую диагональ. Под каким углом пересекаются диагонали квадрата?

Для решения данной задачи необходимо выполнить построение и провести анализ свойств квадрата.

1. Начертим квадрат ABCD.


2. Проведем диагональ AC.
   

   
         A-----------B
         |           |
         |           |
         |           |
         D-----------C
   



3. Сравним диагональ и сторону квадрата. Диагональ квадрата всегда больше его стороны.


4. Определим углы, которые образует диагональ со сторонами квадрата. В квадрате все углы прямые, то есть равны 90°. Диагональ квадрата является биссектрисой его углов, поэтому она делит каждый угол квадрата пополам. Следовательно, углы, которые диагональ образует со сторонами квадрата, равны 45°.
   $$ \angle BAC = \angle BCA = \angle CAD = \angle ACD = 45^\circ $$
   


5. Проведем вторую диагональ BD.
   

   
         A-----O-----B
         |     |     |
         |     |     |
         |     |     |
         D-----O-----C
   



6. Определим угол пересечения диагоналей квадрата. Диагонали квадрата перпендикулярны и делят друг друга пополам. Следовательно, угол между диагоналями равен 90°.
   $$ \angle AOD = \angle BOC = \angle AOB = \angle DOC = 90^\circ $$
   

Ответ: Диагональ квадрата больше его стороны; диагональ образует со сторонами квадрата углы 45°; диагонали квадрата пересекаются под углом 90°.