Начертите треугольник ABC и прямую p, не пересекающую его стороны. Постройте треугольник A₁B₁C₁, симметричный треугольнику ABC относительно прямой p. Пользуясь масштабной линейкой и транспортиром, убедитесь в том, что стороны и углы треугольника A₁B₁C₁ соответственно равны сторонам и углам треугольника ABC. Выполните ещё раз построение для случая, когда прямая p пересекает две стороны треугольника.

Построение.

1. Из каждой вершины треугольника ABC проведём перпендикуляр к прямой p.
2. На продолжении каждого перпендикуляра по другую сторону от прямой p отложим такой же отрезок. Получим точки A₁, B₁ и C₁.
3. Соединим точки A₁, B₁ и C₁. Полученный треугольник A₁B₁C₁ является образом треугольника ABC при симметрии относительно прямой p.

При осевой симметрии прямая p является серединным перпендикуляром к отрезкам AA₁, BB₁ и CC₁. Поэтому соответствующие расстояния сохраняются:

\(AB=A_1B_1\), \(BC=B_1C_1\), \(CA=C_1A_1\).

Следовательно, соответствующие углы также равны:

\(\angle A=\angle A_1\), \(\angle B=\angle B_1\), \(\angle C=\angle C_1\).

Второй случай. Если прямая p пересекает две стороны треугольника, построение выполняется тем же способом: через каждую вершину проводят перпендикуляр к p и откладывают равное расстояние по другую сторону прямой. Вершины, лежащие на прямой p, при симметрии остаются на месте.

Измерение линейкой и транспортиром подтверждает равенство соответствующих сторон и углов. В данном рисунке точка B лежит на прямой p, поэтому её образ совпадает с ней: \(B_1=B\).

Ответ: при осевой симметрии соответствующие стороны и углы треугольников равны; точки, лежащие на оси симметрии, остаются неподвижными.