На заводе установлено 15 станков. Вероятность поломки каждого из них в течение года равна 0,01. Оцените по неравенству Чебышева вероятность того, что в следующий год количество поломанных станков отклонится от ожидаемого (в любую сторону) не меньше чем на 3. Вероятность того, что количество поломанных станков отклонится от ожидаемого меньше чем на 3, не превосходит

Рассмотрим задачу: 1. Определим математическое ожидание (среднее значение) количества поломанных станков. * Количество станков: \( n = 15 \) * Вероятность поломки каждого станка: \( p = 0.01 \) * Математическое ожидание: \( E(X) = n \cdot p = 15 \cdot 0.01 = 0.15 \) 2. Определим дисперсию количества поломанных станков. * Дисперсия: \( D(X) = n \cdot p \cdot (1 - p) = 15 \cdot 0.01 \cdot (1 - 0.01) = 15 \cdot 0.01 \cdot 0.99 = 0.1485 \) 3. Оценим вероятность отклонения не меньше чем на 3, используя неравенство Чебышева. * Неравенство Чебышева: \( P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \leq \frac{D(X)}{\varepsilon^2} \) * В нашем случае \( \varepsilon = 3 \), поэтому: \[ P(|X - 0.15| \geq 3) \leq \frac{0.1485}{3^2} = \frac{0.1485}{9} = 0.0165 \] * Таким образом, вероятность того, что количество поломанных станков отклонится от ожидаемого (в любую сторону) не меньше чем на 3, не превосходит 0.0165. 4. Оценим вероятность отклонения меньше чем на 3. * \( P(|X - E(X)| < \varepsilon) = 1 - P(|X - E(X)| \geq \varepsilon) \) * \( P(|X - 0.15| < 3) = 1 - P(|X - 0.15| \geq 3) \geq 1 - 0.0165 = 0.9835 \) * Вероятность того, что количество поломанных станков отклонится от ожидаемого меньше чем на 3, не превосходит 0.9835.

Проверка за 10 секунд: Применили неравенство Чебышева, нашли математическое ожидание и дисперсию. Убедились, что вероятность отклонения меньше чем на 3 не превосходит 0.9835.

База: Неравенство Чебышева — мощный инструмент для оценки вероятностей, когда точное распределение случайной величины неизвестно!