4. На якому рисунку зображено множину розв'язків нерівності \(\frac{2x-7}{4-x} \ge 0\)?

Привіт! Давай розв'яжемо цю нерівність разом.

\(\frac{2x-7}{4-x} \ge 0\)

Розв'язуємо методом інтервалів.

1. Знайдемо нулі чисельника:

\(2x - 7 = 0\)

\(2x = 7\)

\(x = \frac{7}{2} = 3.5\)

2. Знайдемо нулі знаменника:

\(4 - x = 0\)

\(x = 4\)

3. На числовій прямій відмічаємо точки \(3.5\) (зафарбована, оскільки нерівність нестрога) та \(4\) (виколота, оскільки знаменник не може дорівнювати нулю).

     +       -       +​   
----(3.5)----(4)----

4. Визначаємо знаки на кожному інтервалі:

* \(x < 3.5\): Візьмемо \(x = 0\). Тоді \(\frac{2(0)-7}{4-0} = \frac{-7}{4} < 0\) (знак "-")

* \(3.5 < x < 4\): Візьмемо \(x = 3.75\). Тоді \(\frac{2(3.75)-7}{4-3.75} = \frac{7.5-7}{0.25} = \frac{0.5}{0.25} > 0\) (знак "+")

* \(x > 4\): Візьмемо \(x = 5\). Тоді \(\frac{2(5)-7}{4-5} = \frac{3}{-1} < 0\) (знак "-")

5. Оскільки нам потрібно \(\frac{2x-7}{4-x} \ge 0\), то вибираємо інтервал, де знак "+".

Отже, розв'язком є \(3.5 \le x < 4\).

Це відповідає варіанту 2 на рисунку.