1. На стороне KS треугольника KSN взяли точку Н, а на стороне SN - точку Е таким образом, что ZSKN и ZSEH оказались равными. Докажите подобие треугольников KSN и ESH. 2. Подобны ли два прямоугольных треугольника, если: а) один из углов первого треугольника равен 63°, а один из углов второго 22°, 6) один из углов первого треугольника равен 17°, а один из углов второго 73°? 3. На стороне ЕР угла PEF взята точка R так, что ER < ЕР, а на стороне EF взята точка Т так, что ЕТ < EF. Подобны ли треугольники ETR и EFP, если: а) ЕТ = 27 см, EF = 94.5 см, ER = 24 см, ЕР = 84 см? 6) ЕТ = 17 см, EF = 42.5 см, ER = 14 см, ЕР = 26 см? 4. В треугольнике ANP известны три стороны: АN = 67.5 см, АР = 12 см, NP = 63 см. На стороне АP отметили точку К, а на стороне AN - точку Ѕ. Оказалось, что РК = 4 см, NS = 22.5 см. Найдите KS.

1. Доказательство подобия треугольников KSN и ESH

Давай разберем по порядку доказательство подобия треугольников KSN и ESH.

В треугольниках KSN и ESH:

• ∠SKN = ∠SEH (по условию)
• ∠S - общий угол

Если два угла одного треугольника соответственно равны двум углам другого треугольника, то такие треугольники подобны (по первому признаку подобия треугольников).

Следовательно, треугольники KSN и ESH подобны.

Ответ: Треугольники KSN и ESH подобны на основании первого признака подобия.

2. Подобие прямоугольных треугольников

Теперь рассмотрим вопрос о подобии прямоугольных треугольников в двух случаях.

а) Один из углов первого треугольника равен 63°, а один из углов второго 22°.

В прямоугольном треугольнике один угол всегда равен 90°. Следовательно, второй угол первого треугольника равен 90° - 63° = 27°, а второй угол второго треугольника равен 90° - 22° = 68°. Так как углы не равны, то треугольники не подобны.

б) Один из углов первого треугольника равен 17°, а один из углов второго 73°.

Второй угол первого треугольника равен 90° - 17° = 73°, а второй угол второго треугольника равен 90° - 73° = 17°. Углы соответственно равны, следовательно, треугольники подобны.

Ответ: а) Не подобны, б) Подобны

3. Подобие треугольников ETR и EFP

Проверим, подобны ли треугольники ETR и EFP в заданных условиях.

а) ET = 27 см, EF = 94.5 см, ER = 24 см, EP = 84 см?

Для подобия треугольников должно выполняться соотношение сторон: \(\frac{ET}{EF} = \frac{ER}{EP}\). Подставим значения:

\[\frac{27}{94.5} = \frac{24}{84}\]

Упростим дроби:

\[\frac{27}{94.5} = \frac{27}{94.5} \approx 0.286\] \[\frac{24}{84} = \frac{2}{7} \approx 0.286\]

Стороны пропорциональны, и угол E общий, следовательно, треугольники подобны.

б) ET = 17 см, EF = 42.5 см, ER = 14 см, EP = 26 см?

Подставим значения:

\[\frac{17}{42.5} = \frac{14}{26}\]

Упростим дроби:

\[\frac{17}{42.5} = \frac{17}{42.5} = 0.4\] \[\frac{14}{26} = \frac{7}{13} \approx 0.538\]

Стороны не пропорциональны, следовательно, треугольники не подобны.

Ответ: а) Подобны, б) Не подобны

4. Нахождение стороны KS

Рассмотрим треугольник ANP, в котором известны стороны: AN = 67.5 см, AP = 12 см, NP = 63 см. Также известно, что PK = 4 см и NS = 22.5 см. Нужно найти KS.

Сначала найдем AK и AS:

\[AK = AP - PK = 12 - 4 = 8 \text{ см}\] \[AS = AN - NS = 67.5 - 22.5 = 45 \text{ см}\]

Далее, воспользуемся теоремой косинусов для треугольника ANP, чтобы найти угол A:

\[NP^2 = AN^2 + AP^2 - 2 \cdot AN \cdot AP \cdot \cos A\] \[63^2 = 67.5^2 + 12^2 - 2 \cdot 67.5 \cdot 12 \cdot \cos A\] \[3969 = 4556.25 + 144 - 1620 \cdot \cos A\] \[1620 \cdot \cos A = 4556.25 + 144 - 3969\] \[1620 \cdot \cos A = 731.25\] \[\cos A = \frac{731.25}{1620} = 0.4514\]

Теперь воспользуемся теоремой косинусов для треугольника AKS:

\[KS^2 = AK^2 + AS^2 - 2 \cdot AK \cdot AS \cdot \cos A\] \[KS^2 = 8^2 + 45^2 - 2 \cdot 8 \cdot 45 \cdot 0.4514\] \[KS^2 = 64 + 2025 - 324.97 \approx 1764.03\] \[KS = \sqrt{1764.03} \approx 42. 00 \text{ см}\]

Ответ: KS ≈ 42 см

Молодец! Ты отлично справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!