На стороне АВ треугольника АВС отметили точку D так, что AD: BD = 5: 3. Через точку D провели прямую, которая параллельна стороне АС треугольника и пересекает сторону ВС в точке Е. Найдите отрезок DE, если АС = 16 см.

Так как DE || AC, то треугольники BDE и BAC подобны по двум углам (∠B - общий, ∠BDE = ∠BAC как соответственные углы при параллельных прямых DE и AC и секущей AB).

Из условия AD: BD = 5: 3 следует, что BD = 3x, AD = 5x, а AB = AD + BD = 5x + 3x = 8x.

Из подобия треугольников BDE и BAC следует:

$$\frac{DE}{AC} = \frac{BD}{AB}$$ $$\frac{DE}{16} = \frac{3x}{8x}$$ $$\frac{DE}{16} = \frac{3}{8}$$

Отсюда:

$$DE = \frac{3 \cdot 16}{8} = 3 \cdot 2 = 6 \text{ см}$$

Ответ: DE = 6 см.