На стороне AD треугольника ADC отмечена точка В так, что ВС = BD. Докажите, что прямая DC параллельна биссектрисе угла АВС.

Решение:

Дано: \( \triangle ADC \), точка \( B \) на \( AD \) такая, что \( BC = BD \). \( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \).

Доказать: \( DC \parallel BK \).

1. Рассмотрим \( \triangle BCD \). Так как \( BC = BD \), то \( \triangle BCD \) — равнобедренный.
2. Углы при основании равнобедренного треугольника равны: \( \angle BCD = \angle BDC \).
3. Пусть \( \angle BDC = \alpha \). Тогда \( \angle BCD = \alpha \).
4. Внешний угол \( \triangle BCD \) при вершине \( B \) равен сумме двух других углов: \( \angle ABC = \angle BDC + \angle BCD = \alpha + \alpha = 2 \alpha \).
5. \( BK \) — биссектриса \( \angle ABC \), значит, она делит этот угол пополам: \( \angle ABK = \angle KBC = \frac{1}{2} \angle ABC = \frac{1}{2} (2 \alpha) = \alpha \).
6. Теперь рассмотрим углы \( \angle KBC \) и \( \angle BCD \). Мы получили, что \( \angle KBC = \alpha \) и \( \angle BCD = \alpha \).
7. Эти углы являются накрест лежащими при прямых \( BK \) и \( DC \) и секущей \( BC \).
8. Поскольку накрест лежащие углы равны, то прямые \( BK \) и \( DC \) параллельны.

Доказано.