544 На стороне AD прямоугольника ABCD построен треугольник ADE так, что его стороны АЕ и DE пересекают отрезок ВС в точках Ми №, причём точка М – середина отрезка АЕ. Докажите, что SABCD=S ADE

Для доказательства равенства площадей прямоугольника $$ABCD$$ и треугольника $$ADE$$, рассмотрим следующее:

Обозначим длину стороны $$AD$$ прямоугольника $$ABCD$$ как $$a$$, а длину стороны $$AB$$ как $$h$$. Тогда площадь прямоугольника $$ABCD$$ равна $$S_{ABCD} = a \cdot h$$.

По условию, точка $$M$$ – середина отрезка $$AE$$. Обозначим высоту треугольника $$ADE$$, опущенную из вершины $$E$$ на сторону $$AD$$, как $$H$$. Поскольку $$AE$$ и $$DE$$ пересекают отрезок $$BC$$ в точках $$M$$ и $$N$$ соответственно, и $$M$$ – середина $$AE$$, это означает, что высота $$H$$ треугольника $$ADE$$ равна удвоенной высоте прямоугольника $$ABCD$$, то есть $$H = 2h$$.

Площадь треугольника $$ADE$$ равна $$S_{ADE} = \frac{1}{2} \cdot a \cdot H = \frac{1}{2} \cdot a \cdot (2h) = a \cdot h$$.

Таким образом, $$S_{ABCD} = a \cdot h$$ и $$S_{ADE} = a \cdot h$$. Следовательно, $$S_{ABCD} = S_{ADE}$$, что и требовалось доказать.