622. На стороне AD параллелограмма ABCD отмечена точка K так, что $$AK = \frac{1}{4}KD$$. Диагональ AC и отрезок BK пересекаются в точке P. Найдите площадь параллелограмма ABCD, если площадь треугольника APK равна 1 см².

Решение: 1. Обозначения и ключевые соотношения: * Пусть S(APK) = 1 см² - площадь треугольника APK. * AK = (1/4)KD, следовательно, AK:KD = 1:4, и AK:AD = 1:5. * Обозначим площадь параллелограмма ABCD как S(ABCD). 2. Анализ площадей треугольников: * Треугольники APK и DPK имеют общую высоту, опущенную из вершины P. Следовательно, отношение их площадей равно отношению их оснований: S(APK) / S(DPK) = AK / KD = 1/4. Значит, S(DPK) = 4 * S(APK) = 4 см². * Тогда площадь треугольника APD равна S(APD) = S(APK) + S(DPK) = 1 + 4 = 5 см². 3. Использование подобия треугольников: * Рассмотрим треугольники APK и CPB. Они подобны, так как AD || BC (ABCD - параллелограмм), следовательно, углы PAK и PCB равны как внутренние накрест лежащие, углы PKA и PBC также равны. Значит, углы APK и CPB равны как вертикальные. * Из подобия следует, что AP/PC = AK/BC = AK/AD = 1/5. Следовательно, AP:AC = 1:6. 4. Нахождение площади треугольника ABC: * Треугольники ABC и ADC равны по площади, и каждый из них составляет половину площади параллелограмма ABCD: S(ABC) = S(ADC) = (1/2) * S(ABCD). 5. Нахождение площади треугольника APC: * S(APC) / S(APD) = PC / AP = 5/1, следовательно, S(APC) = 5 * S(APD) = 5 * 5 = 25 см². 6. Нахождение площади треугольника ADC: * S(ADC) = S(APD) + S(APC) = 5 + 25 = 30 см². 7. Нахождение площади параллелограмма ABCD: * S(ABCD) = 2 * S(ADC) = 2 * 30 = 60 см². Ответ: 60 см²