На стороне AC треугольника ABC взяты последовательно, считая от A, три точки K, L и M так, что они делят AC на четыре равные части. Найдите площадь треугольника KBL, если площадь треугольника ABC равна 80.

Пусть (AC) – основание треугольника (ABC), и точки (K), (L), и (M) делят (AC) на четыре равные части. Это означает, что (AK = KL = LM = MC).

Нам нужно найти площадь треугольника (KBL), зная, что площадь треугольника (ABC) равна 80.

Рассмотрим треугольники (ABC) и (KBL). У них общая вершина (B), и их основания (AC) и (KL) лежат на одной прямой.

Площадь треугольника можно выразить как (S = \frac{1}{2} \cdot h \cdot a), где (h) – высота, проведенная к основанию (a).

Высота, проведенная из вершины (B) к основанию (AC), будет общей для треугольников (ABC) и (KBL). Обозначим эту высоту как (h).

Поскольку (KL) составляет одну четверть (AC), то (KL = \frac{1}{4} AC).

Теперь мы можем выразить площади треугольников (ABC) и (KBL) через (h) и (AC):

$$S_{ABC} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot AC$$ $$S_{KBL} = \frac{1}{2} \cdot h \cdot KL = \frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{1}{4} AC$$

Найдём отношение площади треугольника (KBL) к площади треугольника (ABC):

$$\frac{S_{KBL}}{S_{ABC}} = \frac{\frac{1}{2} \cdot h \cdot \frac{1}{4} AC}{\frac{1}{2} \cdot h \cdot AC} = \frac{1}{4}$$

Следовательно, (S_{KBL} = \frac{1}{4} S_{ABC}).

Так как (S_{ABC} = 80), то:

$$S_{KBL} = \frac{1}{4} \cdot 80 = 20$$

Ответ: 20