5. На сторонах ВС и ВА треугольника АВС отметили соответствен точки D и F так, что CD : DB = 8:5, BF: FA = 5: 4. На луче СА отм тили точку М так, что СА = АМ. Докажите, что точки D, F и М леж на одной прямой.

Для доказательства того, что точки D, F и M лежат на одной прямой, можно использовать теорему Менелая для треугольника ABC и прямой DFM.

Теорема Менелая гласит, что точки D, F и M лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда выполняется следующее равенство:

$$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} \cdot \frac{AM}{MC} = 1$$

По условию: $$CD : DB = 8:5$$, $$BF : FA = 5:4$$, $$CA = AM$$.

Выразим AM через CA: $$AM = CA$$. Тогда $$MC = CA + AM = CA + CA = 2CA$$. Значит, $$\frac{AM}{MC} = \frac{CA}{2CA} = \frac{1}{2}$$

Подставим известные значения в теорему Менелая:

$$\frac{CD}{DB} \cdot \frac{BF}{FA} \cdot \frac{AM}{MC} = \frac{8}{5} \cdot \frac{5}{4} \cdot \frac{1}{2} = \frac{8 \cdot 5 \cdot 1}{5 \cdot 4 \cdot 2} = \frac{40}{40} = 1$$

Так как условие теоремы Менелая выполнено, то точки D, F и M лежат на одной прямой.

Ответ: Доказано, что точки D, F и M лежат на одной прямой.