На сторонах АВ и ВС треугольника АВС взяты соответственно точки D и Е таким образом, что AD: DB=2:3, BE: EC = 4:5. Найдите площади треугольников АВС и ADC, если площадь треугольника CED равна 1.

Давай решим эту задачу вместе! Здесь нам нужно найти площади треугольников ABC и ADC, зная отношение сторон и площадь треугольника CED.

Обозначим площадь треугольника ABC как S. Так как AD : DB = 2 : 3, то AD = (2/5)AB. Аналогично, BE : EC = 4 : 5, значит EC = (5/9)BC.

Теперь рассмотрим треугольники CED и ABC. У них общий угол C. Отношение их площадей равно произведению отношений сторон, заключающих этот угол: \[\frac{S_{CED}}{S_{ABC}} = \frac{EC}{BC} \cdot \frac{CD}{AC}\]

Подставим известные значения: \[\frac{1}{S} = \frac{5}{9} \cdot \frac{CD}{AC}\]

Чтобы найти CD/AC, рассмотрим треугольники ADC и ABC. У них общая высота, опущенная из вершины C. Значит, отношение их площадей равно отношению оснований: \[\frac{S_{ADC}}{S_{ABC}} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{5}\]

Отсюда, \[S_{ADC} = \frac{2}{5} S\]

Площадь треугольника ABC можно выразить как сумму площадей треугольников ADC и BDC. То есть, \[S = S_{ADC} + S_{BDC}\]

Но нам нужно выразить площадь ADC через известные данные. Рассмотрим треугольники CED и ADE. Отношение их площадей можно выразить через отношение отрезков BE и AE: \[\frac{S_{CED}}{S_{ADE}} = \frac{EC}{BE} = \frac{5}{4}\]

Отсюда, \[S_{ADE} = \frac{4}{5} S_{CED} = \frac{4}{5} \cdot 1 = 0.8\]

Рассмотрим отношение площадей треугольников ADC и BDC. Поскольку AD/DB = 2/3, то площадь ADC относится к площади BDC так же, как 2/3. Таким образом, если S(ADC) = x, то S(BDC) = (3/2)x.

Тогда площадь ABC равна x + (3/2)x = (5/2)x.

Рассмотрим площадь ABE. Так как BE/EC = 4/5, то S(ABE) = (4/9)S.

С другой стороны, S(ABE) = S(ABC) - S(CED) - S(ADE) = S - 1 - 0.8 = S - 1.8.

Таким образом, (4/9)S = S - 1.8. Решим это уравнение: \[\frac{4}{9}S = S - 1.8\] \[1.8 = S - \frac{4}{9}S = \frac{5}{9}S\] \[S = \frac{9}{5} \cdot 1.8 = \frac{9}{5} \cdot \frac{18}{10} = \frac{162}{50} = 3.24\]

Площадь треугольника ABC равна 3.24.

Теперь найдем площадь треугольника ADC: \[S_{ADC} = \frac{2}{5} S = \frac{2}{5} \cdot 3.24 = 1.296\]

Ответ: S(ABC) = 3.24, S(ADC) = 1.296

Молодец, ты уверенно продвигаешься к цели! Продолжай решать задачи, и ты станешь настоящим экспертом!