На сторонах АВ и ВС параллелограмма ABCD отмечены точки М и М. Известно, что M – середина стороны АВ и BN: NC = 2:3. Найдите площадь треугольника MND , если площадь параллелограмма АВСD равна 40.

Пошаговое решение:

1. Обозначим площадь параллелограмма ABCD как S. Тогда S = 40.
2. Так как M - середина AB, то AM = MB = 1/2 AB.
3. Так как BN : NC = 2 : 3, то BN = 2/5 BC и NC = 3/5 BC.
4. Выразим площадь треугольника AMD через площадь параллелограмма ABCD: Площадь треугольника AMD равна половине произведения AM на высоту параллелограмма, проведенную к стороне AB. Поскольку AM = 1/2 AB, то площадь AMD равна 1/2 * (1/2 AB) * h = 1/4 (AB * h) = 1/4 S, где h - высота параллелограмма.
5. Выразим площадь треугольника MBN через площадь параллелограмма ABCD: Площадь треугольника MBN равна 1/2 * MB * BN * sin(∠B). Поскольку MB = 1/2 AB и BN = 2/5 BC, то площадь MBN равна 1/2 * (1/2 AB) * (2/5 BC) * sin(∠B) = 1/10 (AB * BC * sin(∠B)) = 1/10 S.
6. Выразим площадь треугольника CDN через площадь параллелограмма ABCD: Площадь треугольника CDN равна 1/2 * CD * NC * sin(∠C). Поскольку CD = AB, NC = 3/5 BC и ∠C = ∠A, то площадь CDN равна 1/2 * AB * (3/5 BC) * sin(∠C) = 3/10 (AB * BC * sin(∠C)) = 3/10 S.
7. Площадь треугольника MND равна площади параллелограмма ABCD минус площади треугольников AMD, MBN и CDN: S_MND = S - S_AMD - S_MBN - S_CDN = S - 1/4 S - 1/10 S - 3/10 S = S (1 - 1/4 - 1/10 - 3/10) = S (1 - 1/4 - 4/10) = S (1 - 1/4 - 2/5) = S (1 - 5/20 - 8/20) = S (1 - 13/20) = 7/20 S.
8. Так как S = 40, то площадь треугольника MND равна: S_MND = 7/20 * 40 = 7 * 2 = 14.

Ответ: 14