На сторонах АВ и ВС четырёхугольника ABCD взяли соответственно два конца М и N отрезка, на который попала вершина D. Отрезки CN и DN равны. Известны величины трёх углов: ∠ABC = 56°, ∠DCN = 13° и ∠ADM = 34°. Найти величину угла четырёхугольника при вершине А. ∠BAD =

Решение:

1. Так как CN = DN, то треугольник DCN - равнобедренный. Следовательно, углы при основании NC равны: \[\angle CDN = \angle DCN = 13^{\circ}\]
2. Угол DNC является внешним углом треугольника DCN, поэтому он равен сумме двух других углов, не смежных с ним: \[\angle DNC = \angle CDN + \angle DCN = 13^{\circ} + 13^{\circ} = 26^{\circ}\]
3. Найдем угол ADC: Т.к. \(\angle ADN + \angle NDC = \angle ADC\), то нужно найти \(\angle ADN\). Т.к. \(\angle ADM = 34^{\circ}\) и \(\angle MDN + \angle NDA = \angle MDA\), то нужно найти \(\angle MDN\). Рассмотрим четырехугольник MBND. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Значит, \[\angle MDN = 360^{\circ} - \angle MBN - \angle BND - \angle BMD\] Угол \(\angle BND = 180 - \angle DNC = 180 - 26 = 154^{\circ}\) Тогда, \[\angle MDN = 360 - 56 - 154 - \angle BMD = 150 - \angle BMD\]
4. Рассмотрим четырехугольник ABCD. Сумма углов четырехугольника равна 360 градусов. Значит, \[\angle BAD = 360^{\circ} - \angle ABC - \angle BCD - \angle ADC\] Из условия задачи, \(\angle ABC = 56^{\circ}\).
5. Угол \(\angle BCD = \angle BCA + \angle ACD\). \(\angle ACD = 13^{\circ}\). Значит, \[\angle BCD = \angle BCA + 13^{\circ}\]
6. \(\angle ADC = \angle ADN + \angle NDC\). \(\angle NDC = 13^{\circ}\). Значит, \[\angle ADC = \angle ADN + 13^{\circ}\]
7. Пусть \(\angle BAD = x\). Подставим известные значения в формулу для нахождения угла \(\angle BAD\): \[x = 360 - 56 - (\angle BCA + 13) - (\angle ADN + 13)\] \[x = 278 - \angle BCA - \angle ADN\]