На сторонах АВ и АС треугольника АВС отмечены точки М и N соответственно. Известно, что АМ: МВ = 2 : 5 и AN: NC = 2: 1. Найдите площадь треугольника АMN, если площадь треугольника АВС равна 42.

Решение:

Отношение площадей треугольников AMN и ABC можно найти как произведение отношений сторон, образующих угол A:

$$ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{AM}{AB} \cdot \frac{AN}{AC} $$

Выразим отношения сторон через известные отношения:

$$ \frac{AM}{AB} = \frac{AM}{AM + MB} = \frac{2}{2 + 5} = \frac{2}{7} $$

$$ \frac{AN}{AC} = \frac{AN}{AN + NC} = \frac{2}{2 + 1} = \frac{2}{3} $$

Теперь подставим эти отношения в формулу для отношения площадей:

$$ \frac{S_{AMN}}{S_{ABC}} = \frac{2}{7} \cdot \frac{2}{3} = \frac{4}{21} $$

Известно, что площадь треугольника ABC равна 42, поэтому:

$$ S_{AMN} = \frac{4}{21} \cdot S_{ABC} = \frac{4}{21} \cdot 42 $$

$$ S_{AMN} = \frac{4 \cdot 42}{21} = 4 \cdot 2 = 8 $$

Ответ: 8