480 На сторонах AB, BC, CD и DA четырёхугольника ABCD от- мечены соответственно точки M, N, P и Q так, что АМ =СР, BN = DQ, BM = DP, NC=QA. Докажите, что ABCD и MNPQ — параллелограммы.

Доказательство:

Пусть дан четырёхугольник ABCD, на сторонах которого отмечены точки M, N, P, Q так, что AM = CP, BN = DQ, BM = DP, NC = QA.

Докажем, что если ABCD - параллелограмм, то MNPQ - тоже параллелограмм.

Пусть ABCD - параллелограмм. Тогда AB = CD и BC = DA.

Так как AM = CP и BN = DQ, то MB = AB - AM = CD - CP = PD, и аналогично NC = BC - BN = DA - DQ = QA.

Рассмотрим треугольники AMQ и CPN: AM = CP (по условию), углы A и C равны, так как ABCD - параллелограмм, AQ = NC (по условию). Следовательно, треугольники AMQ и CPN равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, MQ = NP.

Рассмотрим треугольники BMN и DPQ: BN = DQ (по условию), углы B и D равны, так как ABCD - параллелограмм, BM = DP (по условию). Следовательно, треугольники BMN и DPQ равны по двум сторонам и углу между ними. Значит, MN = QP.

Таким образом, в четырёхугольнике MNPQ противоположные стороны равны: MQ = NP и MN = QP. Следовательно, MNPQ - параллелограмм.

Ответ: Доказано, что ABCD и MNPQ - параллелограммы.