На столе перпендикулярно его краю лежит однородная линейка длиной 75 см. Часть линейки свешивается со стола. К этому концу линейки подвешен груз, масса которого в 2 раза больше массы линейки. Найдите длину свешивающейся части, если вся система находится в равновесии.

Краткое пояснение:

Пошаговое решение:

1. Обозначения:
   • $$L_{общ}$$ - общая длина линейки (75 см)
   • $$x$$ - длина свешивающейся части (см)
   • $$m_{лин}$$ - масса линейки
   • $$m_{гр}$$ - масса груза. По условию, $$m_{гр} = 2 imes m_{лин}$$
   • $$W_{лин}$$ - вес линейки ($$W_{лин} = m_{лин} imes g$$)
   • $$W_{гр}$$ - вес груза ($$W_{гр} = m_{гр} imes g = 2 imes m_{лин} imes g$$)
   • Точка опоры — край стола.
2. Принцип рычага: Для равновесия моменты сил относительно точки опоры должны быть равны.
3. Моменты сил:
   • Момент силы тяжести груза: $$M_{гр} = W_{гр} imes x = (2 imes m_{лин} imes g) imes x$$
   • Сила тяжести линейки приложена в её центре. Центр свешивающейся части находится на расстоянии $$x/2$$ от края стола. Общая длина свешивающейся части $$x$$, следовательно, центр масс линейки находится на расстоянии $$(L_{общ} - x)/2$$ от края стола. Момент силы тяжести линейки: $$M_{лин} = W_{лин} imes (L_{общ} - x)/2 = (m_{лин} imes g) imes (75 - x)/2$$
4. Условие равновесия: $$M_{гр} = M_{лин}$$
5. Подставляем значения:\( (2 imes m_{лин} imes g) imes x = (m_{лин} imes g) imes rac{75 - x}{2} \)
6. Упрощаем: Сокращаем $$m_{лин}$$ и $$g$$ (так как они одинаковы с обеих сторон и не равны нулю):\( 2x = rac{75 - x}{2} \)
7. Решаем уравнение:
   • Умножаем обе стороны на 2: \( 4x = 75 - x \)
   • Переносим $$x$$ в левую часть: \( 4x + x = 75 \)
   • \( 5x = 75 \)
   • \( x = rac{75}{5} = 15 \) см

Ответ: 15 см