На рисунке в треугольнике PQR точка O — центр вписанной окружности, M, N, K — точки касания. Дано RO = 20, ∠OPK = 30°. Найти OK.

Так как O — центр вписанной окружности, расстояния от O до всех сторон треугольника равны:

\(OM=ON=OK\).

Из равенства прямоугольных треугольников \(POM\) и \(POK\) следует, что \(PO\) — биссектриса угла P. Поэтому

\(\angle OPK=\frac12\angle P=30^\circ\), откуда \(\angle P=60^\circ\).

По отметкам на рисунке треугольник PQR равнобедренный: \(RP=RQ\). Следовательно, \(\angle P=\angle Q=60^\circ\), а значит, и \(\angle R=60^\circ\). Треугольник PQR равносторонний.

В равностороннем треугольнике центр вписанной окружности делит высоту в отношении \(2:1\), поэтому расстояние от вершины до центра вдвое больше радиуса:

\[RO=2OK.\]

Подставим \(RO=20\):

\[20=2OK,\qquad OK=10.\]

Ответ: \(OK=10\).