На рисунке треугольник АВС — равносторонний с периметром 36, MK II BC, NP II AC, EF II АВ и КМ + MN + NP = PE + EF + FK. Найдите периметр шестиугольника KMNPEF.

Рассмотрим решение задачи.

Так как треугольник ABC равносторонний, то все его стороны равны. Периметр треугольника равен 36, следовательно, каждая сторона равна:

$$AB = BC = AC = \frac{36}{3} = 12$$

По условию задачи, MK || BC, NP || AC, EF || AB. Это означает, что треугольники AMK, BNP и CEF также являются равносторонними.

Пусть сторона каждого из этих треугольников равна x. Тогда:

$$AM = MK = AK = x$$

$$BN = NP = BP = x$$ $$CE = EF = CF = x$$

Из условия также дано:

$$KM + MN + NP = PE + EF + FK$$

Так как MK || BC, NP || AC и EF || AB, то KM = PE = EF = FK = x

Следовательно:

$$x + MN + x = x + x + x$$ $$MN = x$$

Аналогично NP = PE = EF = FK = x, значит, шестиугольник KMNPEF состоит из шести сторон, каждая из которых равна x.

Найдем периметр шестиугольника KMNPEF:

$$P_{KMNPEF} = KM + MN + NP + PE + EF + FK = 6x$$

Из рисунка видно, что сторона треугольника ABC состоит из двух частей, равных x, и стороны шестиугольника, то есть:

$$AB = AM + MN + NB = x + x + x = 3x$$ $$12 = 3x$$

$$x = \frac{12}{3} = 4$$

Тогда периметр шестиугольника равен:

$$P_{KMNPEF} = 6x = 6 \cdot 4 = 24$$

Ответ: 24