Алгебра
Английский
Биология
География
Геометрия
История
Русский
Обществознание
Физика
Химия
Информатика
Литература
МатематикаВопрос:
На рисунке: треугольник ABC; ∠C = 90°, CD ⊥ AB; BC = 3 см, CD = √8 см. Найдите AB, AC, DB.
Ответ:
Краткое пояснение: Для решения этой задачи мы будем использовать теорему Пифагора и свойства подобных треугольников.
Пошаговое решение:
- Рассмотрим треугольник BCD, в котором CD перпендикулярна AB. По теореме Пифагора, \(BC^2 = CD^2 + DB^2\). Подставим известные значения: \(3^2 = (\sqrt{8})^2 + DB^2\). Отсюда \(9 = 8 + DB^2\), значит, \(DB^2 = 1\), и \(DB = 1\) см.
- Теперь рассмотрим треугольник ABC. Пусть AD = x, тогда AB = AD + DB = x + 1. Выразим AC через теорему Пифагора: \(AC^2 + BC^2 = AB^2\), то есть \(AC^2 + 3^2 = (x + 1)^2\), \(AC^2 = (x + 1)^2 - 9\).
- Рассмотрим треугольник ADC, в котором CD перпендикулярна AB. По теореме Пифагора, \(AC^2 = AD^2 + CD^2\), то есть \(AC^2 = x^2 + (\sqrt{8})^2 = x^2 + 8\).
- Приравняем выражения для \(AC^2\) из шагов 2 и 3: \(x^2 + 8 = (x + 1)^2 - 9\). Раскроем скобки: \(x^2 + 8 = x^2 + 2x + 1 - 9\). Упростим: \(8 = 2x - 8\), значит, \(2x = 16\), и \(x = 8\) см.
- Теперь мы знаем, что AD = 8 см, а DB = 1 см, значит, AB = AD + DB = 8 + 1 = 9 см.
- Найдем AC, используя \(AC^2 = x^2 + 8 = 8^2 + 8 = 64 + 8 = 72\), значит, \(AC = \sqrt{72} = \sqrt{36 \cdot 2} = 6\sqrt{2}\) см.
Ответ: AB = 9 см, AC = \(6\sqrt{2}\) см, DB = 1 см.
