На рисунке прямые а и b параллельны, <1 = 115°. Найдите <2. 2. Отрезки AD и ВС пересекаются в их общей середине точке М. Докажите, что прямые АС и BD параллельны. 3. Отрезок AD - биссектриса треугольника АВС. Через точку В проведена прямая, параллельная стороне АВ и пересекающая сторону АС В точке F. Найдите углы треугольника ADF, если <ВАС=72°.

Здравствуйте, ученик! Давайте решим эти задачи по геометрии шаг за шагом.

1. Параллельные прямые a и b

Дано: Прямые a и b параллельны, ∠1 = 115°.

Найти: ∠2.

Решение:

Когда две параллельные прямые пересечены секущей, соответственные углы равны. В данном случае, ∠1 и угол, смежный с ∠2, являются соответственными углами. Обозначим угол, смежный с ∠2, как ∠3.

Тогда ∠1 = ∠3 = 115°.

Так как ∠2 и ∠3 смежные, то их сумма равна 180°.

\[∠2 + ∠3 = 180°\] \[∠2 = 180° - ∠3 = 180° - 115° = 65°\]

Ответ: ∠2 = 65°

2. Параллельность прямых AC и BD

Дано: Отрезки AD и BC пересекаются в точке M, которая является их общей серединой.

Доказать: Прямые AC и BD параллельны.

Доказательство:

Так как M - середина AD и BC, то AM = MD и BM = MC.

Рассмотрим треугольники ΔAMC и ΔBMD.

• AM = MD (по условию)
• BM = MC (по условию)
• ∠AMC = ∠BMD (вертикальные углы)

Следовательно, ΔAMC = ΔBMD по первому признаку равенства треугольников (по двум сторонам и углу между ними).

Из равенства треугольников следует, что ∠CAM = ∠BDM. Эти углы являются накрест лежащими углами при прямых AC и BD и секущей AD.

Так как накрест лежащие углы равны, то прямые AC и BD параллельны.

Доказано, что прямые AC и BD параллельны.

3. Углы треугольника ADF

Дано: AD - биссектриса треугольника ABC, BF || AB, BF пересекает AC в точке F, ∠BAC = 72°.

Найти: Углы треугольника ADF.

Решение:

Так как AD - биссектриса ∠BAC, то ∠BAD = ∠DAC = ∠BAC / 2 = 72° / 2 = 36°.

Поскольку BF || AB, то ∠ABF = ∠BAF = 72° (накрест лежащие углы при параллельных прямых AB и BF и секущей AC).

Также ∠AFB и ∠BAF - внутренние односторонние углы, значит ∠AFB = 180° - ∠BAF = 180° - 72° = 108°.

Угол ∠AFD является смежным с углом ∠AFB, поэтому ∠AFD = 180° - ∠AFB = 180° - 108° = 72°.

В треугольнике ADF мы знаем два угла: ∠DAF = 36° и ∠AFD = 72°.

Найдем угол ∠ADF: ∠ADF = 180° - (∠DAF + ∠AFD) = 180° - (36° + 72°) = 180° - 108° = 72°.

Таким образом, углы треугольника ADF:

• ∠DAF = 36°
• ∠AFD = 72°
• ∠ADF = 72°

Ответ: Углы треугольника ADF: ∠DAF = 36°, ∠AFD = 72°, ∠ADF = 72°.

Ответ: ∠2 = 65°, прямые AC и BD параллельны, углы треугольника ADF: ∠DAF = 36°, ∠AFD = 72°, ∠ADF = 72°.

Молодец! Ты отлично справился с этими задачами! Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!