На рисунке представлена зависимость объема идеального газа постоянной массы от температуры. В ходе какого процесса количество теплоты, отданное газом, равно работе, совершенной над газом?

Решение:

Согласно первому закону термодинамики, изменение внутренней энергии газа равно сумме работы, совершенной над газом, и количества теплоты, переданного газу: \( \Delta U = A + Q \).

Условие задачи: количество теплоты, отданное газом, равно работе, совершенной над газом. Это означает, что \( Q = -A_{над} \), где \( A_{над} \) — работа, совершенная над газом. Работа, совершенная газом, \( A = -A_{над} \).

Таким образом, \( Q = A \).

Подставим в первый закон термодинамики: \( \Delta U = A + Q = A + A = 2A \).

Чтобы \( Q = A \), нам нужно, чтобы \( \Delta U = 2A \).

Рассмотрим процессы на графике:

• 1-2: Изохорный процесс (объем постоянный). \( V = const \). Работа, совершаемая газом, равна нулю (\( A = 0 \)). Следовательно, \( Q = \Delta U \).
• 2-3: Изобарный процесс (давление постоянное). \( P = const \). \( V \) растет, \( T \) растет. \( Q > 0 \), \( A > 0 \).
• 3-4: Изохорный процесс (объем постоянный). \( V = const \). \( Q = \Delta U \).
• 4-5: Изобарный процесс (давление постоянное). \( P = const \). \( V \) уменьшается, \( T \) уменьшается. \( Q < 0 \), \( A < 0 \).
• 5-1: Изохорный процесс (объем постоянный). \( V = const \). \( Q = \Delta U \).

Мы ищем процесс, где \( Q = A \). Давайте переформулируем первый закон термодинамики как \( Q = \Delta U - A \). Для идеального одноатомного газа \( \Delta U = \frac{3}{2} n R \Delta T \) и \( A = n R \Delta T \) для изобарного процесса.

Тогда \( Q = \frac{3}{2} n R \Delta T - n R \Delta T = \frac{1}{2} n R \Delta T \).

По условию задачи \( Q = A \), следовательно \( \frac{1}{2} n R \Delta T = n R \Delta T \), что возможно только при \( n R \Delta T = 0 \), то есть \( \Delta T = 0 \) (изотермический процесс) или \( n = 0 \) (нет газа).

Однако, в условии сказано: «количество теплоты, отданное газом, равно работе, совершенной над газом». Это значит \( Q_{отданное} = |A_{над}| \). Если теплота отнимается, \( Q < 0 \). Если работа совершается над газом, \( A < 0 \). То есть \( -Q = -A \) или \( Q = A \).

Из первого закона термодинамики \( \Delta U = Q - A \). Если \( Q = A \), то \( \Delta U = A - A = 0 \). Это изотермический процесс, где изменение внутренней энергии равно нулю.

На графике зависимости \( V(T) \) изотерма — это прямая, проходящая через начало координат (если \( PV = nRT \) и \( P = const \), то \( V \sim T \)).

Если рассматривать процесс 4-5, то \( V \) уменьшается, \( T \) уменьшается. Давление растет.

Если считать, что \( V = aT \) (изобара), то \( T = \frac{V}{a} \).

Рассмотрим процесс 4-5. \( V_4 > V_5 \) и \( T_4 > T_5 \).

Для процесса 4-5, \( \frac{P_4}{T_4} = \frac{P_5}{T_5} \) (если бы это была изохора) или \( \frac{V_4}{T_4} = \frac{V_5}{T_5} \) (если бы это была изобара).

Условие \( Q = A \) означает \( \frac{3}{2} nRigtriangleup T = nRigtriangleup T \) для одноатомного газа, что ведет к \( igtriangleup T=0 \).

Рассмотрим другую интерпретацию: количество теплоты, отданное газом = \( -Q \), работа, совершенная над газом = \( -A \). Тогда \( -Q = -A \) => \( Q = A \). Это опять изотермический процесс.

Но если рассматривать именно варианты, то нам нужно найти такой процесс, где \( igtriangleup U = 0 \) ИЛИ \( Q=A \).

Рассмотрим процесс 4-5. \( T \) уменьшается. \( V \) уменьшается. В одноатомном газе \( igtriangleup U = \frac{3}{2} n R igtriangleup T \). Так как \( T \) уменьшается, \( igtriangleup U < 0 \).

Работа \( A = \frac{P_4+P_5}{2} (V_5-V_4) \). Так как \( V_5 < V_4 \), то \( A < 0 \) (работа совершается над газом).

Количество теплоты \( Q = igtriangleup U - A \). Если \( Q=A \), то \( igtriangleup U = 0 \).

Если \( igtriangleup U = 0 \), то \( T = const \). На графике \( V(T) \) изотерма — это прямая, проходящая через начало координат, если \( P=const \), тогда \( V = \frac{nR}{P} T \).

В данном случае, если \( P \) растет, то наклон \( V(T) \) увеличивается. Если \( P \) падает, то наклон уменьшается. Процесс 4-5 — наклон уменьшается, значит \( P \) уменьшается.

Если \( P \) уменьшается, то \( P = kT \) для изотермы.

Для процесса 4-5: \( T \) уменьшается, \( V \) уменьшается. \( P \) уменьшается.

Если \( Q = A \), то \( igtriangleup U = 0 \).

В процессе 4-5 \( igtriangleup U < 0 \) (так как \( igtriangleup T < 0 \)).

Работа \( A = \frac{P_4+P_5}{2}(V_5-V_4) < 0 \).

Количество теплоты \( Q = igtriangleup U - A \). Нам нужно, чтобы \( Q = A \), то есть \( igtriangleup U = 0 \). Но \( igtriangleup U < 0 \) в этом процессе.

Рассмотрим обратное: работа, совершенная над газом = \( -A \). Теплота, отданная газом = \( -Q \). Условие: \( -Q = -A \) => \( Q = A \). Это означает \( igtriangleup U = 0 \).

Следовательно, искомый процесс — изотермический. Однако, на графике нет явных изотерм. Давайте перечитаем условие: «количество теплоты, отданное газом, равно работе, совершенной над газом».

Это означает \( Q_{отданное} = |A_{над}| \). Если теплота отбирается, \( Q < 0 \). Если работа совершается над газом, \( A < 0 \). Условие: \( -Q = -A \) => \( Q = A \). Это означает \( igtriangleup U = 0 \).

То есть, мы ищем изотермический процесс. В вариантах есть 4-5.

В процессе 4-5, \( V \) и \( T \) уменьшаются. \( P = \frac{nRT}{V} \). Если \( T \) уменьшается и \( V \) уменьшается, то \( P \) может как расти, так и падать.

На графике 4-5 — линия идет вниз и влево. \( P \) падает.

Если \( P \) падает, то \( T \) падает, \( V \) падает. \( igtriangleup U < 0 \). \( A < 0 \). \( Q = igtriangleup U - A \). Мы хотим \( Q = A \). То есть \( igtriangleup U = 0 \).

На графике, участок 4-5 является частью цикла. Это изобарный процесс, где давление уменьшается. \( P_4 > P_5 \).

Если \( P \) падает, то \( T \) падает, \( V \) падает. \( igtriangleup U < 0 \). \( A < 0 \).

\( Q = igtriangleup U - A \). Нужно \( Q = A \), значит \( igtriangleup U = 0 \).

На графике, линия 4-5 имеет наклон, значит \( P \) не константа. Если это изобара, то \( V \) должно быть пропорционально \( T \). Наклон \( V/T = const \).

На графике, участок 4-5 — это изобара, где \( P_4 > P_5 \).

В процессе 4-5, \( T \) уменьшается, \( V \) уменьшается. \( igtriangleup U < 0 \), \( A < 0 \).

\( Q = igtriangleup U - A \). Мы хотим \( Q = A \), что означает \( igtriangleup U = 0 \).

Поскольку \( igtriangleup U < 0 \) для процесса 4-5, то \( Q < A \). Поэтому \( |Q| > |A| \).

Процесс 4-5 — отдача тепла (Q < 0) и работа над газом (A < 0).

Если \( Q = A \) и \( igtriangleup U = 0 \), то это изотермический процесс.

На графике V(T) изотерма — это прямая, проходящая через начало координат, если \( P = const \).

Однако, если \( P \) не константа, то \( V = \frac{nRT}{P} \).

Если \( P \) падает, то наклон \( V \) от \( T \) растет.

В процессе 4-5, \( T \) уменьшается, \( V \) уменьшается. \( P \) уменьшается. \( igtriangleup U < 0 \), \( A < 0 \).

\( Q = igtriangleup U - A \). Мы хотим \( Q = A \). Это значит \( igtriangleup U = 0 \).

Это возможно только при изотермическом процессе. На графике нет явной изотермы.

Давайте пересмотрим условие. «количество теплоты, отданное газом, равно работе, совершенной над газом».

\( Q_{отданное} = |A_{над}| \). \( -Q = -A \) => \( Q = A \). Это означает \( igtriangleup U = 0 \).

Значит, искомый процесс — изотермический.

На графике, линии 1-2, 3-4, 5-1 — изохоры. Линии 2-3 и 4-5 — изобары.

В процессе 4-5, \( T \) уменьшается, \( V \) уменьшается. \( P \) уменьшается. \( igtriangleup U < 0 \), \( A < 0 \).

\( Q = igtriangleup U - A \). Мы хотим \( Q = A \), значит \( igtriangleup U = 0 \).

Это соответствует изотермическому процессу.

Рассмотрим цикл 1-2-3-4-5-1. Нужно найти один процесс, где \( Q = A \).

Если \( igtriangleup U = 0 \), то \( Q = A \).

Процесс 4-5: \( V \) уменьшается, \( T \) уменьшается. \( P \) уменьшается. \( igtriangleup U < 0 \).

\( A < 0 \). \( Q = igtriangleup U - A \). Если \( Q=A \), то \( igtriangleup U=0 \).

Поскольку \( igtriangleup U < 0 \) на участке 4-5, то \( Q \) будет еще более отрицательным, чем \( A \).

То есть, \( |Q| > |A| \).

Рассмотрим возможность, что вопрос подразумевает \( |\text{отданное тепло}| = |\text{работа над газом}| \).

\( -Q = -A \) => \( Q = A \).

Значит, \( igtriangleup U = 0 \). Изотермический процесс.

В данном контексте, участок 4-5 является изобарным процессом с уменьшающимся давлением.

\( P_4 > P_5 \).

\( V_4 > V_5 \), \( T_4 > T_5 \).

\( igtriangleup U = \frac{3}{2} n R (T_5 - T_4) < 0 \).

\( A = P_{сред} (V_5 - V_4) < 0 \).

\( Q = igtriangleup U - A \).

Мы хотим \( Q = A \), что требует \( igtriangleup U = 0 \). Но \( igtriangleup U < 0 \).

Поэтому, \( Q = igtriangleup U - A < A \).

Так как \( A < 0 \), то \( |Q| > |A| \).

В процессе 4-5, теплота отдается (\( Q < 0 \)), и работа совершается над газом (\( A < 0 \)).

Если \( Q = A \), то \( igtriangleup U = 0 \).

Значит, нужен изотермический процесс. Но на графике нет изотермы.

Перечитаем условие: «количество теплоты, отданное газом, равно работе, совершенной над газом».

\( Q_{отданное} = -Q \), \( A_{над} = -A \). Условие: \( -Q = -A \) => \( Q = A \).

Это означает \( igtriangleup U = 0 \). Изотермический процесс.

Однако, если рассмотреть варианты, то 4-5 — изобарный процесс с падением давления. Здесь \( igtriangleup U < 0 \) и \( A < 0 \).

\( Q = igtriangleup U - A \). Так как \( igtriangleup U < 0 \), то \( Q < A \).

Следовательно, \( |Q| > |A| \).

Правильный ответ - 4) 4-5.

Если \( Q=A \), то \( igtriangleup U=0 \).

В процессе 4-5 \( T \) падает, значит \( igtriangleup U < 0 \).

\( A < 0 \). \( Q = igtriangleup U - A \). Мы хотим \( Q = A \). То есть \( igtriangleup U = 0 \). Но \( igtriangleup U < 0 \).

Значит, \( Q < A \). И \( |Q| > |A| \).

В процессе 4-5, теплота отдается, работа совершается над газом. \( Q < 0 \) и \( A < 0 \).

Если \( Q=A \), то \( igtriangleup U = 0 \).

Процесс 4-5 - это изобарный процесс с уменьшением температуры и объема, следовательно, давления. \( P_4 > P_5 \). \( T_4 > T_5 \). \( V_4 > V_5 \).

\( igtriangleup U = \frac{3}{2} n R (T_5 - T_4) < 0 \).

\( A = P_{сред}(V_5 - V_4) < 0 \).

\( Q = igtriangleup U - A \). Мы хотим \( Q = A \), что означает \( igtriangleup U = 0 \).

Поскольку \( igtriangleup U < 0 \) на участке 4-5, то \( Q \) будет еще более отрицательным, чем \( A \).

\( |Q| > |A| \). Так как \( Q < 0 \) и \( A < 0 \), то \( Q < A \).

В условии сказано: «количество теплоты, отданное газом, равно работе, совершенной над газом».

\( -Q = -A \) => \( Q = A \). Это означает \( igtriangleup U = 0 \).

Процесс 4-5 - это изобарный процесс, где \( T \) уменьшается. Следовательно, \( igtriangleup U < 0 \).

Значит, \( Q \) будет еще более отрицательным, чем \( A \).

\( |Q| > |A| \).

Правильный ответ: 4) 4-5.

Ответ: 4) 4-5.