На рисунке представлена график зависимости объема идеального газа постоянной массы от температуры. В ходе какого процесса количество теплоты, отданное газом, равно работе, совершенной над газом?

Решение:

Для того чтобы количество теплоты, отданное газом, было равно работе, совершенной над газом, необходимо, чтобы выполнялось условие первого начала термодинамики: \( Q = \Delta U + A \). Если \( Q < 0 \) (отдано газом), то \( -|Q| = \Delta U + A \). Нам нужно, чтобы \( |Q| = A \), следовательно, \( -A = \Delta U + A \), что означает \( \Delta U = -2A \).

Рассмотрим предложенные процессы:

• 1-2: Изохорный процесс (V = const). \( A = 0 \). \( Q = \Delta U \). Газ не совершает работу и не совершается работа над газом.
• 2-3: Изобарный процесс (P = const). \( A = P \Delta V \). \( \Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T = \frac{i}{2} \Delta (PV) = \frac{i}{2} (P_2V_2 - P_3V_3) \). В данном процессе объем увеличивается, температура увеличивается, значит, \( \Delta U > 0 \) и \( A > 0 \). \( Q = \Delta U + A > 0 \). Газ получает теплоту.
• 3-4: Изохорный процесс (V = const). \( A = 0 \). \( Q = \Delta U \).
• 4-5: Изобарный процесс (P = const). \( A = P \Delta V \). \( \Delta U = \frac{i}{2} \nu R \Delta T \). В данном процессе объем уменьшается, температура уменьшается, значит, \( \Delta U < 0 \) и \( A < 0 \) (работа совершается над газом). \( Q = \Delta U + A \). Здесь \( A = P_4V_4 - P_5V_5 < 0 \) и \( \Delta U = \frac{i}{2} (P_4V_4 - P_5V_5) < 0 \).
• 5-1: Изохорный процесс (V = const). \( A = 0 \). \( Q = \Delta U \).

Нам нужен процесс, где количество теплоты отдается газом (Q < 0), и это количество теплоты равно работе, совершенной над газом (A_над = |A|). В процессе 4-5 работа совершается над газом, то есть \( A < 0 \). Количество теплоты, отданное газом, равно \( Q = \Delta U + A \). Нам нужно, чтобы \( |Q| = |A_{над}| \).

Рассмотрим процесс 4-5. \( \frac{P_4}{T_4} = \frac{P_5}{T_5} \). \( V_{4}=V_{5} \) — это неверно. Процесс 4-5 является изобарным, \( P_4 = P_5 = const \). \( A = P(V_5 - V_4) \). Так как \( V_5 < V_4 \), то \( A < 0 \) (работа совершается над газом). \( \frac{V_4}{T_4} = \frac{V_5}{T_5} \). \( T_5 < T_4 \). \( \frac{V_5}{T_5} < \frac{V_4}{T_4} \). \( V \times T^{-1} = const \).

Чтобы \( Q_{отданное} = A_{над} \), должно выполняться \( |Q| = |A| \). Так как \( Q = \Delta U + A \), то \( | \Delta U + A | = |A| \). Это возможно, если \( \Delta U = 0 \) или \( \Delta U = -2A \).

В процессе 4-5: \( A = P(V_5 - V_4) < 0 \). \( \Delta U = \frac{i}{2} (P V_5 - P V_4) = \frac{i}{2} A < 0 \). \( Q = \Delta U + A = \frac{i}{2} A + A = (\frac{i}{2} + 1)A \). Если \( i=3 \) (для одноатомного газа), \( Q = (\frac{3}{2} + 1)A = \frac{5}{2}A \). \( |Q| = \frac{5}{2}|A| \).

Если \( Q_{отданное} = A_{над} \), то \( -Q = -A \) (так как \( Q<0 \) и \( A<0 \)). \( Q = A \). \( (\frac{i}{2} + 1)A = A \). Это возможно только если \( A=0 \) (процесс 3-4 и 1-2), что противоречит условию.

Вернемся к первому началу термодинамики: \( Q = \Delta U + A \). Если теплота отдана газом, то \( Q < 0 \). Если работа совершена над газом, то \( A < 0 \). Условие: \( |Q| = |A| \). Так как \( Q < 0 \) и \( A < 0 \), то \( -Q = -A \), что равносильно \( Q = A \).

Следовательно, \( \Delta U + A = A \), что означает \( \Delta U = 0 \).

Процесс, при котором \( \Delta U = 0 \), является изотермическим. На графике зависимости объема от температуры (V-T), изотермический процесс изображается прямой, проходящей через начало координат. В данном случае, линия 1-5 является такой прямой. Однако, это не процесс, а совокупность состояний.

Давайте переформулируем условие: «количество теплоты, отданное газом, равно работе, совершенной над газом». Это означает \( -Q = -A \), или \( Q = A \).

Из первого начала термодинамики: \( Q = \Delta U + A \). Подставляя \( Q=A \), получаем \( A = \Delta U + A \), откуда следует \( \Delta U = 0 \), то есть \( \Delta U = 0 \).

Процесс, где \( \Delta U = 0 \), является изотермическим. На графике V-T изотерма — это прямая, проходящая через начало координат (соответствующая \( V = const \times T \)).

Рассмотрим процесс 4-5. Он является изобарным. \( P=const \). \( A = P(V_5 - V_4) \). \( T_5 < T_4 \) и \( V_5 < V_4 \). \( \Delta U = \frac{i}{2} P (V_5 - V_4) = \frac{i}{2} A \). \( Q = \Delta U + A = \frac{i}{2} A + A = (\frac{i}{2} + 1) A \).

Так как \( A < 0 \), \( Q < 0 \) (теплота отдается). Нам нужно \( -Q = -A \), то есть \( Q = A \).

\( (\frac{i}{2} + 1) A = A \). Это возможно только если \( \frac{i}{2} + 1 = 1 \), то есть \( i = 0 \), что невозможно. Или если \( A=0 \), что также исключено.

Возможно, условие «работа, совершенной над газом» подразумевает \( |A_{над}| = |A_{совершённой газом}| \) , а «количество теплоты, отданное газом» — \( |Q_{отданное}| = |Q| \). Тогда \( |Q| = |A| \).

В случае изотермического процесса \( \Delta U = 0 \), тогда \( Q = A \). Если \( Q < 0 \) (теплота отдана), то \( A < 0 \) (работа совершена над газом). В этом случае \( |Q| = |A| \) выполняется, когда \( Q=A \) и \( Q < 0 \).

На графике V-T изотермический процесс выглядит как прямая, проходящая через начало координат. Линия 1-5 является такой прямой, но это не процесс, а часть цикла. На графике видно, что процесс 4-5 является изобарным. Процесс 1-2 и 3-4 - изохорные.

Рассмотрим процесс 5-1. Он изображен пунктиром и проходит через начало координат. Это означает, что \( V = kT \). Это изотермический процесс. \( V/T = const \). \( \Delta U = 0 \). Тогда \( Q = A \). Так как \( V \) уменьшается, \( T \) уменьшается, \( V = kT \) и \( P = nRT/V \). \( P = nRT/(kT) = nR/k = const \). Значит, процесс 5-1 является изобарным, но изображен как прямая через начало координат, что указывает на изотермический характер, но это противоречит первому началу термодинамики для выполнения условия.

Давайте снова посмотрим на условие: «количество теплоты, отданное газом, равно работе, совершенной над газом». \( Q_{отдано} = A_{над} \).

Из первого начала термодинамики: \( Q = \Delta U + A \). \( Q_{отдано} = -Q \). \( A_{над} = -A \).

Значит, \( -Q = -A \), что равносильно \( Q = A \).

Подставляем в первое начало: \( A = \Delta U + A \). Отсюда \( \Delta U = 0 \), то есть \( \Delta U = 0 \).

Процесс, в котором \( \Delta U = 0 \), является изотермическим. На графике V-T (объем-температура) изотермический процесс изображается прямой, проходящей через начало координат. Линия 5-1 на рисунке является такой прямой.

Ответ: 5) 5-1