5. На рисунке PN=NT, PK – биссектриса угла MPT, ∠NPT=70', ∠РКМ=55. Докажите, что прямые РТ и МК параллельны. Найдите угол РКТ.

Дано: PN = NT, PK – биссектриса угла MPT, ∠NPT = 70°, ∠PKM = 55°.

Доказать: PT || MK.

Найти: ∠PKT.

Решение:

1. Рассмотрим треугольник PNT. Так как PN = NT, то треугольник PNT – равнобедренный, значит, углы при основании равны: ∠NPT = ∠NTP = 70°.

2. Найдем угол PNT: ∠PNT = 180° - ∠NPT - ∠NTP = 180° - 70° - 70° = 40°.

3. Так как PK – биссектриса угла MPT, то ∠MPT = 2 * ∠NPT = 2 * 70° = 140°.

4. Найдем угол MTP: ∠MTP = 180° - ∠MPT - ∠PMT = 180° - 140° - 40° = 40°.

5. Теперь рассмотрим углы MTP и PKM. Если ∠MTP = ∠PKM, то прямые PT и MK параллельны, так как это накрест лежащие углы при секущей KM.

6. ∠PKT = ∠MPT/2 - ∠PKM = 140/2 - 55 = 70 - 55 = 15°.

Ответ: 15°