1. На рисунке MN|| AC. Докажите, что AB BN=CB BM. Найдите MN, если AM = 6см, BM = 8см, AC = 21см. 2. Найдите отношение площадей Δ ABC и Δ PQR, если AB = 12см, BC = 15см, AC = 21см, PQ = 16см, QR = 20см, PR = 28см.

Задание 1

Давай решим эту задачу по геометрии вместе. У нас есть рисунок, где MN параллельна AC, и нам нужно доказать, что \[\frac{AB}{BN} = \frac{CB}{BM}\] и найти MN, если известны длины AM, BM и AC.

Доказательство:

Рассмотрим треугольники ABC и MBN. Так как MN || AC, то углы MNB и BCA равны как соответственные углы при параллельных прямых и секущей BC. Также углы NMB и BAC равны как соответственные углы при параллельных прямых и секущей AB. Угол B общий для обоих треугольников.

Следовательно, треугольники ABC и MBN подобны по трем углам (по первому признаку подобия треугольников).

Из подобия треугольников следует пропорциональность сторон:

\[\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{BN} = \frac{AC}{MN}\]

Перепишем первое равенство:

\[\frac{AB}{MB} = \frac{BC}{BN}\]

Отсюда следует, что:

\[\frac{AB}{BC} = \frac{MB}{BN}\]

Или:

\[\frac{AB}{MB} = \frac{CB}{NB}\]

Таким образом, равенство \[\frac{AB}{BN} = \frac{CB}{BM}\] доказано.

Найдем MN:

Нам дано: AM = 6 см, BM = 8 см, AC = 21 см. Надо найти MN.

Так как треугольники ABC и MBN подобны, то:

\[\frac{AC}{MN} = \frac{AB}{MB}\]

Выразим AB через AM и BM: AB = AM + MB = 6 см + 8 см = 14 см.

Теперь подставим известные значения в пропорцию:

\[\frac{21}{MN} = \frac{14}{8}\]

Чтобы найти MN, решим пропорцию:

\[MN = \frac{21 \cdot 8}{14}\] \[MN = \frac{168}{14}\] \[MN = 12\]

Итак, MN = 12 см.

Ответ на первый вопрос: \[MN = 12\] см

Задание 2

Теперь давай найдем отношение площадей треугольников ABC и PQR, если известны стороны этих треугольников.

Дано: AB = 12 см, BC = 15 см, AC = 21 см, PQ = 16 см, QR = 20 см, PR = 28 см.

Сначала проверим, подобны ли треугольники ABC и PQR. Для этого найдем отношения соответствующих сторон:

\[\frac{AB}{PQ} = \frac{12}{16} = \frac{3}{4}\] \[\frac{BC}{QR} = \frac{15}{20} = \frac{3}{4}\] \[\frac{AC}{PR} = \frac{21}{28} = \frac{3}{4}\]

Так как отношения всех соответствующих сторон равны, треугольники ABC и PQR подобны по третьему признаку подобия треугольников (по трем сторонам).

Отношение площадей подобных треугольников равно квадрату коэффициента подобия. Коэффициент подобия k = \frac{3}{4}.

Тогда отношение площадей равно:

\[\frac{S_{ABC}}{S_{PQR}} = k^2 = \left(\frac{3}{4}\right)^2 = \frac{9}{16}\]

Ответ на второй вопрос: \(\frac{9}{16}\)

Ответ: 12 см, 9/16

Отличная работа! Ты хорошо справился с этой задачей. Продолжай в том же духе, и у тебя всё получится!